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Theorem odulub 17348
Description: Least upper bounds in a dual order are greatest lower bounds in the original order. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odulub.l 𝐿 = (glb‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odulub (𝑂𝑉𝐿 = (lub‘𝐷))

Proof of Theorem odulub
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odulub.l . 2 𝐿 = (glb‘𝑂)
2 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑐 ∈ V
3 vex 3352 . . . . . . . . . . 11 𝑏 ∈ V
42, 3brcnv 5443 . . . . . . . . . 10 (𝑐(le‘𝑂)𝑏𝑏(le‘𝑂)𝑐)
54ralbii 3128 . . . . . . . . 9 (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐)
6 vex 3352 . . . . . . . . . . . . 13 𝑑 ∈ V
72, 6brcnv 5443 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑑(le‘𝑂)𝑐)
87ralbii 3128 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑 ↔ ∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐)
93, 6brcnv 5443 . . . . . . . . . . 11 (𝑏(le‘𝑂)𝑑𝑑(le‘𝑂)𝑏)
108, 9imbi12i 339 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))
1110ralbii 3128 . . . . . . . . 9 (∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑) ↔ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))
125, 11anbi12i 604 . . . . . . . 8 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂) → ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
1413riotabiia 6770 . . . . . 6 (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))) = (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
1514mpteq2i 4873 . . . . 5 (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) = (𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))))
1612reubii 3276 . . . . . 6 (∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
1716abbii 2887 . . . . 5 {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))} = {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}
1815, 17reseq12i 5532 . . . 4 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))})
1918eqcomi 2779 . . 3 ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))})
20 eqid 2770 . . . 4 (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
21 eqid 2770 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
22 eqid 2770 . . . 4 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
23 biid 251 . . . 4 ((∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))
24 id 22 . . . 4 (𝑂𝑉𝑂𝑉)
2520, 21, 22, 23, 24glbfval 17198 . . 3 (𝑂𝑉 → (glb‘𝑂) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑏(le‘𝑂)𝑐 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑑(le‘𝑂)𝑐𝑑(le‘𝑂)𝑏))}))
26 oduglb.d . . . . 5 𝐷 = (ODual‘𝑂)
27 fvex 6342 . . . . 5 (ODual‘𝑂) ∈ V
2826, 27eqeltri 2845 . . . 4 𝐷 ∈ V
2926, 20odubas 17340 . . . . 5 (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
3026, 21oduleval 17338 . . . . 5 (le‘𝑂) = (le‘𝐷)
31 eqid 2770 . . . . 5 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32 biid 251 . . . . 5 ((∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)) ↔ (∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))
33 id 22 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → 𝐷 ∈ V)
3429, 30, 31, 32, 33lubfval 17185 . . . 4 (𝐷 ∈ V → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
3528, 34mp1i 13 . . 3 (𝑂𝑉 → (lub‘𝐷) = ((𝑎 ∈ 𝒫 (Base‘𝑂) ↦ (𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑)))) ↾ {𝑎 ∣ ∃!𝑏 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑏 ∧ ∀𝑑 ∈ (Base‘𝑂)(∀𝑐𝑎 𝑐(le‘𝑂)𝑑𝑏(le‘𝑂)𝑑))}))
3619, 25, 353eqtr4a 2830 . 2 (𝑂𝑉 → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
371, 36syl5eq 2816 1 (𝑂𝑉𝐿 = (lub‘𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  {cab 2756  wral 3060  ∃!wreu 3062  Vcvv 3349  𝒫 cpw 4295   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ccnv 5248  cres 5251  cfv 6031  crio 6752  Basecbs 16063  lecple 16155  lubclub 17149  glbcglb 17150  ODualcodu 17335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ple 16168  df-lub 17181  df-glb 17182  df-odu 17336
This theorem is referenced by:  odujoin  17349  oduclatb  17351  posglbd  17357
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