MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odujoin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odujoin 17349
Description: Joins in a dual order are meets in the original. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduglb.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odujoin.m = (meet‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odujoin = (join‘𝐷)

Proof of Theorem odujoin
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odujoin.m . 2 = (meet‘𝑂)
2 oduglb.d . . . . . . 7 𝐷 = (ODual‘𝑂)
3 eqid 2770 . . . . . . 7 (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
42, 3odulub 17348 . . . . . 6 (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
54breqd 4795 . . . . 5 (𝑂 ∈ V → ({𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐 ↔ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐))
65oprabbidv 6855 . . . 4 (𝑂 ∈ V → {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐} = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
7 eqid 2770 . . . . 5 (meet‘𝑂) = (meet‘𝑂)
83, 7meetfval 17222 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (glb‘𝑂)𝑐})
9 fvex 6342 . . . . . 6 (ODual‘𝑂) ∈ V
102, 9eqeltri 2845 . . . . 5 𝐷 ∈ V
11 eqid 2770 . . . . . 6 (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
12 eqid 2770 . . . . . 6 (join‘𝐷) = (join‘𝐷)
1311, 12joinfval 17208 . . . . 5 (𝐷 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
1410, 13mp1i 13 . . . 4 (𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = {⟨⟨𝑎, 𝑏⟩, 𝑐⟩ ∣ {𝑎, 𝑏} (lub‘𝐷)𝑐})
156, 8, 143eqtr4d 2814 . . 3 (𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
16 fvprc 6326 . . . 4 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = ∅)
17 fvprc 6326 . . . . . . 7 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
182, 17syl5eq 2816 . . . . . 6 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
1918fveq2d 6336 . . . . 5 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = (join‘∅))
20 join0 17345 . . . . 5 (join‘∅) = ∅
2119, 20syl6eq 2820 . . . 4 𝑂 ∈ V → (join‘𝐷) = ∅)
2216, 21eqtr4d 2807 . . 3 𝑂 ∈ V → (meet‘𝑂) = (join‘𝐷))
2315, 22pm2.61i 176 . 2 (meet‘𝑂) = (join‘𝐷)
241, 23eqtri 2792 1 = (join‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  c0 4061  {cpr 4316   class class class wbr 4784  cfv 6031  {coprab 6793  lubclub 17149  glbcglb 17150  joincjn 17151  meetcmee 17152  ODualcodu 17335
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-dec 11695  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ple 16168  df-lub 17181  df-glb 17182  df-join 17183  df-meet 17184  df-odu 17336
This theorem is referenced by:  odulatb  17350  latmass  17395  latdisd  17397  odudlatb  17403  dlatjmdi  17404
  Copyright terms: Public domain W3C validator