Theorem oduclatb 17191

Description: Being a complete lattice is self-dual. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oduglb.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduclatb	⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Proof of Theorem oduclatb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3243	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
2		noel 3952	. . . . 5 ⊢ ¬ ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅
3		ssid 3657	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ ∅
4		base0 15959	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
5		eqid 2651	. . . . . . 7 ⊢ (lub‘∅) = (lub‘∅)
6	4, 5	clatlubcl 17159	. . . . . 6 ⊢ ((∅ ∈ CLat ∧ ∅ ⊆ ∅) → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
7	3, 6	mpan2 707	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ CLat → ((lub‘∅)‘∅) ∈ ∅)
8	2, 7	mto 188	. . . 4 ⊢ ¬ ∅ ∈ CLat
9		oduglb.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
10		fvprc 6223	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (ODual‘𝑂) = ∅)
11	9, 10	syl5eq 2697	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → 𝐷 = ∅)
12	11	eleq1d 2715	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝐷 ∈ CLat ↔ ∅ ∈ CLat))
13	8, 12	mtbiri 316	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ¬ 𝐷 ∈ CLat)
14	13	con4i 113	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ CLat → 𝑂 ∈ V)
15	9	oduposb 17183	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ Poset ↔ 𝐷 ∈ Poset))
16		ancom 465	. . . . 5 ⊢ ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
17		eqid 2651	. . . . . . . . 9 ⊢ (glb‘𝑂) = (glb‘𝑂)
18	9, 17	odulub 17188	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (glb‘𝑂) = (lub‘𝐷))
19	18	dmeqd 5358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (glb‘𝑂) = dom (lub‘𝐷))
20	19	eqeq1d 2653	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
21		eqid 2651	. . . . . . . . 9 ⊢ (lub‘𝑂) = (lub‘𝑂)
22	9, 21	oduglb 17186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂 ∈ V → (lub‘𝑂) = (glb‘𝐷))
23	22	dmeqd 5358	. . . . . . 7 ⊢ (𝑂 ∈ V → dom (lub‘𝑂) = dom (glb‘𝐷))
24	23	eqeq1d 2653	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ↔ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))
25	20, 24	anbi12d 747	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
26	16, 25	syl5bb 272	. . . 4 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂)) ↔ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
27	15, 26	anbi12d 747	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))) ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂)))))
28		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝑂)
29	28, 21, 17	isclat 17156	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ (𝑂 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝑂) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
30	9, 28	odubas 17180	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑂) = (Base‘𝐷)
31		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (lub‘𝐷) = (lub‘𝐷)
32		eqid 2651	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐷) = (glb‘𝐷)
33	30, 31, 32	isclat 17156	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ CLat ↔ (𝐷 ∈ Poset ∧ (dom (lub‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂) ∧ dom (glb‘𝐷) = 𝒫 (Base‘𝑂))))
34	27, 29, 33	3bitr4g 303	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat))
35	1, 14, 34	pm5.21nii 367	1 ⊢ (𝑂 ∈ CLat ↔ 𝐷 ∈ CLat)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  dom cdm 5143  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  Posetcpo 16987  lubclub 16989  glbcglb 16990  CLatccla 17154  ODualcodu 17175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-dec 11532  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ple 16008  df-preset 16975  df-poset 16993  df-lub 17021  df-glb 17022  df-clat 17155  df-odu 17176

This theorem is referenced by: (None)