MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odubas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odubas 17354
Description: Base set of an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d 𝐷 = (ODual‘𝑂)
odubas.b 𝐵 = (Base‘𝑂)
Assertion
Ref Expression
odubas 𝐵 = (Base‘𝐷)

Proof of Theorem odubas
StepHypRef Expression
1 baseid 16141 . . 3 Base = Slot (Base‘ndx)
2 1re 10251 . . . . 5 1 ∈ ℝ
3 1lt10 11893 . . . . 5 1 < 10
42, 3ltneii 10362 . . . 4 1 ≠ 10
5 basendx 16145 . . . . 5 (Base‘ndx) = 1
6 plendx 16269 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
75, 6neeq12i 2998 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 1 ≠ 10)
84, 7mpbir 221 . . 3 (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
91, 8setsnid 16137 . 2 (Base‘𝑂) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
10 odubas.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑂)
11 oduval.d . . . 4 𝐷 = (ODual‘𝑂)
12 eqid 2760 . . . 4 (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
1311, 12oduval 17351 . . 3 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩)
1413fveq2i 6356 . 2 (Base‘𝐷) = (Base‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), (le‘𝑂)⟩))
159, 10, 143eqtr4i 2792 1 𝐵 = (Base‘𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1632  wne 2932  cop 4327  ccnv 5265  cfv 6049  (class class class)co 6814  0cc0 10148  1c1 10149  cdc 11705  ndxcnx 16076   sSet csts 16077  Basecbs 16079  lecple 16170  ODualcodu 17349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-dec 11706  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ple 16183  df-odu 17350
This theorem is referenced by:  odupos  17356  oduposb  17357  oduglb  17360  odulub  17362  odulatb  17364  oduclatb  17365  posglbd  17371  latmass  17409  latdisd  17411  odudlatb  17417  dlatjmdi  17418  oduprs  29986  odutos  29993  ordtcnvNEW  30296  ordtrest2NEW  30299
  Copyright terms: Public domain W3C validator