Theorem odrngstr 16239

Description: Functionality of an ordered metric ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.) (Proof shortened by AV, 15-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
odrngstr.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})

Assertion

Ref	Expression
odrngstr	⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩

Proof of Theorem odrngstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odrngstr.w	. 2 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩})
2		eqid 2748	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
3	2	rngstr 16173	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩
4		9nn 11355	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℕ
5		tsetndx 16213	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
6		9lt10 11836	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
7		10nn 11677	. . . 4 ⊢ ;10 ∈ ℕ
8		plendx 16220	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
9		1nn0 11471	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		0nn0 11470	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
11		2nn 11348	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ
12		2pos 11275	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
13	9, 10, 11, 12	declt 11693	. . . 4 ⊢ ;10 < ;12
14	9, 11	decnncl 11681	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ
15		dsndx 16235	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
16	4, 5, 6, 7, 8, 13, 14, 15	strle3 16148	. . 3 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
17		3lt9 11390	. . 3 ⊢ 3 < 9
18	3, 16, 17	strleun 16145	. 2 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(TopSet‘ndx), 𝐽⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), 𝐷⟩}) Struct ⟨1, ;12⟩
19	1, 18	eqbrtri 4813	1 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, ;12⟩

Syntax hints:   = wceq 1620   ∪ cun 3701  {ctp 4313  ⟨cop 4315   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  0cc0 10099  1c1 10100  2c2 11233  3c3 11234  9c9 11240  ;cdc 11656   Struct cstr 16026  ndxcnx 16027  Basecbs 16030  +_gcplusg 16114  ._rcmulr 16115  TopSetcts 16120  lecple 16121  distcds 16123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7899  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-4 11244  df-5 11245  df-6 11246  df-7 11247  df-8 11248  df-9 11249  df-n0 11456  df-z 11541  df-dec 11657  df-uz 11851  df-fz 12491  df-struct 16032  df-ndx 16033  df-slot 16034  df-base 16036  df-plusg 16127  df-mulr 16128  df-tset 16133  df-ple 16134  df-ds 16137

This theorem is referenced by:  odrngbas  16240  odrngplusg  16241  odrngmulr  16242  odrngtset  16243  odrngle  16244  odrngds  16245  xrsstr  19933