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Theorem odmulg 18193
Description: Relationship between the order of an element and that of a multiple. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmulg ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))

Proof of Theorem odmulg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odmulgid.1 . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odmulgid.3 . . . . . . . . 9 · = (.g𝐺)
31, 2mulgcl 17780 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
433com23 1121 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
5 odmulgid.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
61, 5odcl 18175 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
74, 6syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
87nn0cnd 11565 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
98adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
109mul02d 10446 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 0)
11 simpr 479 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0)
1211oveq1d 6829 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (0 · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
13 simp3 1133 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
141, 5odcl 18175 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
15143ad2ant2 1129 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 11692 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
17 gcdeq0 15460 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂𝐴) = 0)))
1813, 16, 17syl2anc 696 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0 ↔ (𝑁 = 0 ∧ (𝑂𝐴) = 0)))
1918simplbda 655 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
2010, 12, 193eqtr4rd 2805 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 0) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
21 simpll3 1259 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2216ad2antrr 764 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
23 gcddvds 15447 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴)))
2421, 22, 23syl2anc 696 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑁 ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴)))
2524simprd 482 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
2613, 16gcdcld 15452 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2726adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11692 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
2928adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
30 nn0z 11612 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ)
3130adantl 473 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑥 ∈ ℤ)
32 dvdstr 15240 . . . . . . 7 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3329, 22, 31, 32syl3anc 1477 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3425, 33mpand 713 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
357nn0zd 11692 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
3635ad2antrr 764 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
37 muldvds1 15228 . . . . . 6 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
3829, 36, 31, 37syl3anc 1477 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥 → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥))
39 dvdszrcl 15207 . . . . . . . . 9 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ))
40 divides 15204 . . . . . . . . 9 (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥))
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥))
4241ibi 256 . . . . . . 7 ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥)
4335adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ)
44 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℤ)
4528adantrr 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ)
46 simprl 811 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0)
47 dvdscmulr 15232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
4843, 44, 45, 46, 47syl112anc 1481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦))
491, 5, 2odmulgid 18191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
5049adantrl 754 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ 𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁)))
51 simpl3 1232 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
52 dvdsmulgcd 15496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5344, 51, 52syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · 𝑁) ↔ (𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5448, 50, 533bitrrd 295 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦)))
5545zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℂ)
5644zcnd 11695 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → 𝑦 ∈ ℂ)
5755, 56mulcomd 10273 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) = (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))))
5857breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · 𝑦) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
5954, 58bitrd 268 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0 ∧ 𝑦 ∈ ℤ)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
6059anassrs 683 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))))
61 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑥))
62 breq2 4808 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → (((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
6361, 62bibi12d 334 . . . . . . . . 9 ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6460, 63syl5ibcom 235 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6564rexlimdva 3169 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6642, 65syl5 34 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6766adantr 472 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∥ 𝑥 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
6834, 38, 67pm5.21ndd 368 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
6968ralrimiva 3104 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥))
7015adantr 472 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
717adantr 472 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
7227, 71nn0mulcld 11568 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0)
73 dvdsext 15265 . . . 4 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
7470, 72, 73syl2anc 696 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → ((𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑥 ↔ ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) ∥ 𝑥)))
7569, 74mpbird 247 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ≠ 0) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
7620, 75pm2.61dane 3019 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  0cc0 10148   · cmul 10153  0cn0 11504  cz 11589  cdvds 15202   gcd cgcd 15438  Basecbs 16079  Grpcgrp 17643  .gcmg 17761  odcod 18164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-fz 12540  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-dvds 15203  df-gcd 15439  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-minusg 17647  df-sbg 17648  df-mulg 17762  df-od 18168
This theorem is referenced by:  odmulgeq  18194  odinv  18198  gexexlem  18475
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