Theorem odinv 18184

Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odinv.1	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2	⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
odinv.3	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odinv	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Proof of Theorem odinv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1z 11614	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
2		odinv.3	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odinv.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	odmulg 18179	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
6	1, 5	mp3an3 1560	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) = ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))))
7	2, 3	odcl 18161	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
8	7	adantl 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 11681	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
10		gcdcom 15442	. . . . 5 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
11	1, 9, 10	sylancr 567	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = ((𝑂‘𝐴) gcd -1))
12		1z 11608	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
13		gcdneg 15450	. . . . 5 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
14	9, 12, 13	sylancl 566	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd -1) = ((𝑂‘𝐴) gcd 1))
15		gcd1 15456	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
16	9, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) gcd 1) = 1)
17	11, 14, 16	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)
18		odinv.2	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝐺)
19	2, 4, 18	mulgm1 17769	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (-1(.g‘𝐺)𝐴) = (𝐼‘𝐴))
20	19	fveq2d 6336	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
21	17, 20	oveq12d 6810	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((-1 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g‘𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))))
22	2, 18	grpinvcl 17674	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋)
23	2, 3	odcl 18161	. . . . 5 ⊢ ((𝐼‘𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
24	22, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℕ0)
25	24	nn0cnd 11554	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 10259	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼‘𝐴))) = (𝑂‘(𝐼‘𝐴)))
27	6, 21, 26	3eqtrrd 2809	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘(𝐼‘𝐴)) = (𝑂‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   · cmul 10142  -cneg 10468  ℕ₀cn0 11493  ℤcz 11578   gcd cgcd 15423  Basecbs 16063  Grpcgrp 17629  inv_gcminusg 17630  ._gcmg 17747  odcod 18150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-od 18154

This theorem is referenced by:  torsubg  18463  oddvdssubg  18464