MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odinv 18184
Description: The order of the inverse of a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odinv.1 𝑂 = (od‘𝐺)
odinv.2 𝐼 = (invg𝐺)
odinv.3 𝑋 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odinv ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) = (𝑂𝐴))

Proof of Theorem odinv
StepHypRef Expression
1 neg1z 11614 . . 3 -1 ∈ ℤ
2 odinv.3 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odinv.1 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
4 eqid 2770 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
52, 3, 4odmulg 18179 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))))
61, 5mp3an3 1560 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))))
72, 3odcl 18161 . . . . . . 7 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
87adantl 467 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
98nn0zd 11681 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
10 gcdcom 15442 . . . . 5 ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℤ) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) gcd -1))
111, 9, 10sylancr 567 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = ((𝑂𝐴) gcd -1))
12 1z 11608 . . . . 5 1 ∈ ℤ
13 gcdneg 15450 . . . . 5 (((𝑂𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) gcd -1) = ((𝑂𝐴) gcd 1))
149, 12, 13sylancl 566 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd -1) = ((𝑂𝐴) gcd 1))
15 gcd1 15456 . . . . 5 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → ((𝑂𝐴) gcd 1) = 1)
169, 15syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑂𝐴) gcd 1) = 1)
1711, 14, 163eqtrd 2808 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1 gcd (𝑂𝐴)) = 1)
18 odinv.2 . . . . 5 𝐼 = (invg𝐺)
192, 4, 18mulgm1 17769 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (-1(.g𝐺)𝐴) = (𝐼𝐴))
2019fveq2d 6336 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴)) = (𝑂‘(𝐼𝐴)))
2117, 20oveq12d 6810 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ((-1 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(-1(.g𝐺)𝐴))) = (1 · (𝑂‘(𝐼𝐴))))
222, 18grpinvcl 17674 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐼𝐴) ∈ 𝑋)
232, 3odcl 18161 . . . . 5 ((𝐼𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℕ0)
2422, 23syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℕ0)
2524nn0cnd 11554 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) ∈ ℂ)
2625mulid2d 10259 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (1 · (𝑂‘(𝐼𝐴))) = (𝑂‘(𝐼𝐴)))
276, 21, 263eqtrrd 2809 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂‘(𝐼𝐴)) = (𝑂𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  cfv 6031  (class class class)co 6792  1c1 10138   · cmul 10142  -cneg 10468  0cn0 11493  cz 11578   gcd cgcd 15423  Basecbs 16063  Grpcgrp 17629  invgcminusg 17630  .gcmg 17747  odcod 18150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-inf 8504  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-od 18154
This theorem is referenced by:  torsubg  18463  oddvdssubg  18464
  Copyright terms: Public domain W3C validator