Theorem odinf 18180

Description: The multiples of an element with infinite order form an infinite cyclic subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odf1.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odf1.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odf1.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odf1.4	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
odinf	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥,𝑂   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem odinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znnen 15140	. . . . 5 ⊢ ℤ ≈ ℕ
2		nnenom 12973	. . . . 5 ⊢ ℕ ≈ ω
3	1, 2	entr2i 8176	. . . 4 ⊢ ω ≈ ℤ
4		odf1.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		odf1.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
6		odf1.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
7		odf1.4	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	4, 5, 6, 7	odf1 18179	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 ↔ 𝐹:ℤ–1-1→𝑋))
9	8	biimp3a 1581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1→𝑋)
10		f1f 6262	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ⟶𝑋)
11		zex 11578	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ∈ V
12		fvex 6362	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) ∈ V
13	4, 12	eqeltri 2835	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 ∈ V
14		fex2 7286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:ℤ⟶𝑋 ∧ ℤ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
15	11, 13, 14	mp3an23 1565	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ⟶𝑋 → 𝐹 ∈ V)
16	9, 10, 15	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹 ∈ V)
17		f1f1orn 6309	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:ℤ–1-1→𝑋 → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
18	9, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹)
19		f1oen3g 8137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:ℤ–1-1-onto→ran 𝐹) → ℤ ≈ ran 𝐹)
20	16, 18, 19	syl2anc 696	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ℤ ≈ ran 𝐹)
21		entr 8173	. . . 4 ⊢ ((ω ≈ ℤ ∧ ℤ ≈ ran 𝐹) → ω ≈ ran 𝐹)
22	3, 20, 21	sylancr 698	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ω ≈ ran 𝐹)
23		endom 8148	. . 3 ⊢ (ω ≈ ran 𝐹 → ω ≼ ran 𝐹)
24		domnsym 8251	. . 3 ⊢ (ω ≼ ran 𝐹 → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
25	22, 23, 24	3syl 18	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ≺ ω)
26		isfinite 8722	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ Fin ↔ ran 𝐹 ≺ ω)
27	25, 26	sylnibr 318	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ¬ ran 𝐹 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  Vcvv 3340   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267  ⟶wf 6045  –1-1→wf1 6046  –1-1-onto→wf1o 6048  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230   ≈ cen 8118   ≼ cdom 8119   ≺ csdm 8120  Fincfn 8121  0cc0 10128  ℕcn 11212  ℤcz 11569  Basecbs 16059  Grpcgrp 17623  ._gcmg 17741  odcod 18144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-od 18148

This theorem is referenced by:  dfod2  18181  odcl2  18182