MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odhash Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odhash 18189
Description: An element of zero order generates an infinite subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odhash.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
odhash.o 𝑂 = (od‘𝐺)
odhash.k 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
Assertion
Ref Expression
odhash ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)

Proof of Theorem odhash
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11578 . . 3 ℤ ∈ V
2 ominf 8337 . . . 4 ¬ ω ∈ Fin
3 znnen 15140 . . . . . 6 ℤ ≈ ℕ
4 nnenom 12973 . . . . . 6 ℕ ≈ ω
53, 4entri 8175 . . . . 5 ℤ ≈ ω
6 enfi 8341 . . . . 5 (ℤ ≈ ω → (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin))
75, 6ax-mp 5 . . . 4 (ℤ ∈ Fin ↔ ω ∈ Fin)
82, 7mtbir 312 . . 3 ¬ ℤ ∈ Fin
9 hashinf 13316 . . 3 ((ℤ ∈ V ∧ ¬ ℤ ∈ Fin) → (♯‘ℤ) = +∞)
101, 8, 9mp2an 710 . 2 (♯‘ℤ) = +∞
11 odhash.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
12 eqid 2760 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
13 odhash.o . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
14 odhash.k . . . 4 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
1511, 12, 13, 14odf1o1 18187 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}))
161f1oen 8142 . . 3 ((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)):ℤ–1-1-onto→(𝐾‘{𝐴}) → ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}))
17 hasheni 13330 . . 3 (ℤ ≈ (𝐾‘{𝐴}) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
1815, 16, 173syl 18 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘ℤ) = (♯‘(𝐾‘{𝐴})))
1910, 18syl5reqr 2809 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (♯‘(𝐾‘{𝐴})) = +∞)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  {csn 4321   class class class wbr 4804  cmpt 4881  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049  (class class class)co 6813  ωcom 7230  cen 8118  Fincfn 8121  0cc0 10128  +∞cpnf 10263  cn 11212  cz 11569  chash 13311  Basecbs 16059  mrClscmrc 16445  Grpcgrp 17623  .gcmg 17741  SubGrpcsubg 17789  odcod 18144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-dvds 15183  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-od 18148
This theorem is referenced by:  odhash3  18191
  Copyright terms: Public domain W3C validator