MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odf 18163
Description: Functionality of the group element order. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.) (Proof shortened by AV, 5-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
odf 𝑂:𝑋⟶ℕ0

Proof of Theorem odf
Dummy variables 𝑦 𝑤 𝑧 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 10236 . . . . 5 0 ∈ V
2 ltso 10320 . . . . . 6 < Or ℝ
32infex 8555 . . . . 5 inf(𝑤, ℝ, < ) ∈ V
41, 3ifex 4295 . . . 4 if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
54csbex 4927 . . 3 {𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)} / 𝑤if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )) ∈ V
6 odcl.1 . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 eqid 2771 . . . 4 (.g𝐺) = (.g𝐺)
8 eqid 2771 . . . 4 (0g𝐺) = (0g𝐺)
9 odcl.2 . . . 4 𝑂 = (od‘𝐺)
106, 7, 8, 9odfval 18159 . . 3 𝑂 = (𝑦𝑋{𝑧 ∈ ℕ ∣ (𝑧(.g𝐺)𝑦) = (0g𝐺)} / 𝑤if(𝑤 = ∅, 0, inf(𝑤, ℝ, < )))
115, 10fnmpti 6162 . 2 𝑂 Fn 𝑋
126, 9odcl 18162 . . 3 (𝑥𝑋 → (𝑂𝑥) ∈ ℕ0)
1312rgen 3071 . 2 𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ ℕ0
14 ffnfv 6530 . 2 (𝑂:𝑋⟶ℕ0 ↔ (𝑂 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑂𝑥) ∈ ℕ0))
1511, 13, 14mpbir2an 690 1 𝑂:𝑋⟶ℕ0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  {crab 3065  csb 3682  c0 4063  ifcif 4225   Fn wfn 6026  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  infcinf 8503  cr 10137  0cc0 10138   < clt 10276  cn 11222  0cn0 11494  Basecbs 16064  0gc0g 16308  .gcmg 17748  odcod 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-od 18155
This theorem is referenced by:  gexex  18463  torsubg  18464  proot1mul  38303  proot1hash  38304  proot1ex  38305
  Copyright terms: Public domain W3C validator