MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq 18176
Description: The oddvds 18173 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odeq ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq
StepHypRef Expression
1 nn0z 11602 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
2 odcl.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5oddvds 18173 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
71, 6syl3an3 1169 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
873expa 1111 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
98ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑂𝐴) → (𝑁𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑦))
1110bibi1d 332 . . . . 5 (𝑁 = (𝑂𝐴) → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
1211ralbidv 3135 . . . 4 (𝑁 = (𝑂𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
139, 12syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 = (𝑂𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14133adant3 1126 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16 simpl2 1229 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴𝑋)
172, 3odcl 18162 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
192, 3, 4, 5odid 18164 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
2016, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
21173ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
22 breq2 4790 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑁𝑦𝑁 ∥ (𝑂𝐴)))
23 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
2423eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2522, 24bibi12d 334 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )))
2625rspcva 3458 . . . . . 6 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2721, 26sylan 569 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2820, 27mpbird 247 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂𝐴))
29 nn0z 11602 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
30 iddvds 15204 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
3115, 29, 303syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁𝑁)
32 breq2 4790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → (𝑁𝑦𝑁𝑁))
33 oveq1 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
3433eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3532, 34bibi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
3635rspcva 3458 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37363ad2antl3 1202 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3831, 37mpbid 222 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
392, 3, 4, 5oddvds 18173 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4029, 39syl3an3 1169 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4140adantr 466 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4238, 41mpbird 247 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∥ 𝑁)
43 dvdseq 15245 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂𝐴))
4415, 18, 28, 42, 43syl22anc 1477 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂𝐴))
4544ex 397 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂𝐴)))
4614, 45impbid 202 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  0cn0 11494  cz 11579  cdvds 15189  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  .gcmg 17748  odcod 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-od 18155
This theorem is referenced by:  odval2  18177  proot1ex  38305
  Copyright terms: Public domain W3C validator