Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odeq 18176
 Description: The oddvds 18173 property uniquely defines the group order. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odeq ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝑦, 0   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑂   𝑦, ·   𝑦,𝐺   𝑦,𝑋

Proof of Theorem odeq
StepHypRef Expression
1 nn0z 11602 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0𝑦 ∈ ℤ)
2 odcl.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . . . . . 8 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5oddvds 18173 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
71, 6syl3an3 1169 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
873expa 1111 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
98ralrimiva 3115 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ))
10 breq1 4789 . . . . . 6 (𝑁 = (𝑂𝐴) → (𝑁𝑦 ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑦))
1110bibi1d 332 . . . . 5 (𝑁 = (𝑂𝐴) → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
1211ralbidv 3135 . . . 4 (𝑁 = (𝑂𝐴) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 ((𝑂𝐴) ∥ 𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
139, 12syl5ibrcom 237 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 = (𝑂𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
14133adant3 1126 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) → ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
15 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∈ ℕ0)
16 simpl2 1229 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝐴𝑋)
172, 3odcl 18162 . . . . 5 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
192, 3, 4, 5odid 18164 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
2016, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )
21173ad2ant2 1128 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
22 breq2 4790 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑁𝑦𝑁 ∥ (𝑂𝐴)))
23 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑂𝐴) → (𝑦 · 𝐴) = ((𝑂𝐴) · 𝐴))
2423eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2522, 24bibi12d 334 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝑂𝐴) → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 )))
2625rspcva 3458 . . . . . 6 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2721, 26sylan 569 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ↔ ((𝑂𝐴) · 𝐴) = 0 ))
2820, 27mpbird 247 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 ∥ (𝑂𝐴))
29 nn0z 11602 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
30 iddvds 15204 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁𝑁)
3115, 29, 303syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁𝑁)
32 breq2 4790 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → (𝑁𝑦𝑁𝑁))
33 oveq1 6800 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑁 → (𝑦 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
3433eqeq1d 2773 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑦 · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3532, 34bibi12d 334 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑁 → ((𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) ↔ (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
3635rspcva 3458 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
37363ad2antl3 1202 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
3831, 37mpbid 222 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑁 · 𝐴) = 0 )
392, 3, 4, 5oddvds 18173 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4029, 39syl3an3 1169 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4140adantr 466 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4238, 41mpbird 247 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∥ 𝑁)
43 dvdseq 15245 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 ∥ (𝑂𝐴) ∧ (𝑂𝐴) ∥ 𝑁)) → 𝑁 = (𝑂𝐴))
4415, 18, 28, 42, 43syl22anc 1477 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )) → 𝑁 = (𝑂𝐴))
4544ex 397 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 = (𝑂𝐴)))
4614, 45impbid 202 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑂𝐴) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ0 (𝑁𝑦 ↔ (𝑦 · 𝐴) = 0 )))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   class class class wbr 4786  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  ℕ0cn0 11494  ℤcz 11579   ∥ cdvds 15189  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  .gcmg 17748  odcod 18151 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-od 18155 This theorem is referenced by:  odval2  18177  proot1ex  38305
 Copyright terms: Public domain W3C validator