MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvdsnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvdsnn0 18009
Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvdsnn0 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0
StepHypRef Expression
1 0nn0 11345 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
2 odcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5mndodcong 18007 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
763expia 1286 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
81, 7mpanr2 720 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
983impa 1278 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10 nn0cn 11340 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
11103ad2ant3 1104 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1211subid1d 10419 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1312breq2d 4697 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑁))
142, 5, 4mulg0 17593 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15143ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
1615eqeq2d 2661 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
1713, 16bibi12d 334 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
189, 17sylibd 229 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19 simpr 476 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
2019breq1d 4695 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21 simpl3 1086 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 nn0z 11438 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 0dvds 15049 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2421, 22, 233syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2515adantr 480 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26 oveq1 6697 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2726eqeq1d 2653 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
2825, 27syl5ibrcom 237 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
292, 3, 4, 5odlem2 18004 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
30293com23 1291 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
31 elfznn 12408 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
32 nnne0 11091 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
34333expia 1286 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
35343ad2antl2 1244 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
3635necon2bd 2839 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37 simpl3 1086 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38 elnn0 11332 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3937, 38sylib 208 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4039ord 391 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
4136, 40syld 47 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
4241impancom 455 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 = 0))
4328, 42impbid 202 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4420, 24, 433bitrd 294 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4544ex 449 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
462, 3odcl 18001 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
47463ad2ant2 1103 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
48 elnn0 11332 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
4947, 48sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
5018, 45, 49mpjaod 395 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  ...cfz 12364  cdvds 15027  Basecbs 15904  0gc0g 16147  Mndcmnd 17341  .gcmg 17587  odcod 17990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-dvds 15028  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mulg 17588  df-od 17994
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator