MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvds2 18190
Description: The order of an element of a finite group divides the order (cardinality) of the group. Corollary of Lagrange's theorem for the order of a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl2.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl2.2 𝑂 = (od‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvds2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∥ (♯‘𝑋))

Proof of Theorem oddvds2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 odcl2.1 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odcl2.2 . . . . 5 𝑂 = (od‘𝐺)
3 eqid 2771 . . . . 5 (.g𝐺) = (.g𝐺)
4 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))
51, 2, 3, 4dfod2 18188 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = if(ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))), 0))
653adant2 1125 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = if(ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))), 0))
7 simp2 1131 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
81, 3, 4cycsubgcl 17828 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))))
983adant2 1125 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))))
109simpld 482 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
111subgss 17803 . . . . . 6 (ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
1210, 11syl 17 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋)
13 ssfi 8340 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
147, 12, 13syl2anc 573 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin)
1514iftrued 4234 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → if(ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ Fin, (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))), 0) = (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))))
166, 15eqtrd 2805 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) = (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))))
171lagsubg 17864 . . 3 ((ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))) ∥ (♯‘𝑋))
1810, 7, 17syl2anc 573 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (♯‘ran (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥(.g𝐺)𝐴))) ∥ (♯‘𝑋))
1916, 18eqbrtrd 4809 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐴𝑋) → (𝑂𝐴) ∥ (♯‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  ifcif 4226   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ran crn 5251  cfv 6030  (class class class)co 6796  Fincfn 8113  0cc0 10142  cz 11584  chash 13321  cdvds 15189  Basecbs 16064  Grpcgrp 17630  .gcmg 17748  SubGrpcsubg 17796  odcod 18151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-eqg 17801  df-od 18155
This theorem is referenced by:  odsubdvds  18193  gexcl2  18211  gexdvds3  18212  pgpfi1  18217  prmcyg  18502  lt6abl  18503  ablfacrp  18673  pgpfac1lem2  18682  dchrfi  25201  dchrabs  25206
  Copyright terms: Public domain W3C validator