Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddpwp1fsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddpwp1fsum 15323
 Description: An odd power of a number increased by 1 expressed by a product with a finite sum. (Contributed by AV, 15-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
pwp1fsum.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
pwp1fsum.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
oddpwp1fsum.n (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
oddpwp1fsum (𝜑 → ((𝐴𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem oddpwp1fsum
StepHypRef Expression
1 oddpwp1fsum.n . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 2 ∥ 𝑁)
2 pwp1fsum.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
32nnzd 11683 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
4 oddm1even 15275 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
53, 4syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ 2 ∥ (𝑁 − 1)))
61, 5mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → 2 ∥ (𝑁 − 1))
7 m1expe 15299 . . . . 5 (2 ∥ (𝑁 − 1) → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → (-1↑(𝑁 − 1)) = 1)
98oveq1d 6808 . . 3 (𝜑 → ((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴𝑁)) = (1 · (𝐴𝑁)))
109oveq1d 6808 . 2 (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴𝑁)) + 1) = ((1 · (𝐴𝑁)) + 1))
11 pwp1fsum.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
1211, 2pwp1fsum 15322 . 2 (𝜑 → (((-1↑(𝑁 − 1)) · (𝐴𝑁)) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
132nnnn0d 11553 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1411, 13expcld 13215 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
1514mulid2d 10260 . . 3 (𝜑 → (1 · (𝐴𝑁)) = (𝐴𝑁))
1615oveq1d 6808 . 2 (𝜑 → ((1 · (𝐴𝑁)) + 1) = ((𝐴𝑁) + 1))
1710, 12, 163eqtr3rd 2814 1 (𝜑 → ((𝐴𝑁) + 1) = ((𝐴 + 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))((-1↑𝑘) · (𝐴𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   − cmin 10468  -cneg 10469  ℕcn 11222  2c2 11272  ℤcz 11579  ...cfz 12533  ↑cexp 13067  Σcsu 14624   ∥ cdvds 15189 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-oi 8571  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190 This theorem is referenced by:  lighneallem4b  42054  lighneallem4  42055
 Copyright terms: Public domain W3C validator