Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddprmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddprmdvds 15654
 Description: Every positive integer which is not a power of two is divisible by an odd prime number. (Contributed by AV, 6-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddprmdvds ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
Distinct variable group:   𝑛,𝐾,𝑝

Proof of Theorem oddprmdvds
Dummy variables 𝑚 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2prm 15452 . . . 4 2 ∈ ℙ
2 pcndvds2 15619 . . . 4 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
31, 2mpan 706 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
4 pcdvds 15615 . . . 4 ((2 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾)
51, 4mpan 706 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾)
6 id 22 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
7 2nn 11223 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ
87a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
91a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℙ)
109, 6pccld 15602 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ → (2 pCnt 𝐾) ∈ ℕ0)
118, 10nnexpcld 13070 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
126, 11jca 553 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ))
13 nndivdvds 15036 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
1412, 13syl 17 . . . . . 6 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
1514adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ))
16 elnn1uz2 11803 . . . . . . 7 ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ ↔ ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ∨ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ‘2)))
17 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
18 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ)
19 nnne0 11091 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0)
2018, 19jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0))
2111, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0))
22 3anass 1059 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0) ↔ (𝐾 ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0)))
2317, 21, 22sylanbrc 699 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0))
25 diveq1 10756 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
2710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (2 pCnt 𝐾) ∈ ℕ0)
28 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 = (2 pCnt 𝐾) → (2↑𝑛) = (2↑(2 pCnt 𝐾)))
2928eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = (2 pCnt 𝐾) → (𝐾 = (2↑𝑛) ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
3029adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∧ 𝑛 = (2 pCnt 𝐾)) → (𝐾 = (2↑𝑛) ↔ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))))
31 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)))
3227, 30, 31rspcedvd 3348 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛))
3332ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)))
34 pm2.24 121 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))
3533, 34syl6 35 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
3635adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝐾 = (2↑(2 pCnt 𝐾)) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
3726, 36sylbid 230 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
3837com12 32 . . . . . . . 8 ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
39 exprmfct 15463 . . . . . . . . 9 ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))))
40 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑞 = 2 → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
4140biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 = 2 → 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
4241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (𝑞 = 2 → 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
4342necon3bd 2837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝑞 ≠ 2))
4443ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → 𝑞 ≠ 2)))
45 prmnn 15435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℕ)
465, 14mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ)
47 nndivides 15037 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 ∈ ℕ ∧ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
4845, 46, 47syl2anr 494 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))))
49 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞))
5017adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝐾 ∈ ℂ)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐾 ∈ ℂ)
52 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
5345adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℕ)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℕ)
5552, 54nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑞) ∈ ℕ)
5655nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ)
5711adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ)
5958, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0))
6051, 56, 593jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0)))
61 divmul 10726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑚 · 𝑞) ∈ ℂ ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ (2↑(2 pCnt 𝐾)) ≠ 0)) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = (𝑚 · 𝑞) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
6349, 62syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ↔ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾))
64 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℙ)
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℙ)
6665anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ≠ 2))
67 eldifsn 4350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ≠ 2))
6866, 67sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∈ (ℙ ∖ {2}))
70 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐾𝑞𝐾))
7170adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) ∧ 𝑝 = 𝑞) → (𝑝𝐾𝑞𝐾))
7258, 52nnmulcld 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℕ)
7372nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ)
7445nnzd 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
7574adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℤ)
7675adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℤ)
7773, 76jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ))
7877adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ))
79 dvdsmul2 15051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ) → 𝑞 ∥ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞))
8078, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∥ (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞))
81 2nn0 11347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2 ∈ ℕ0
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐾 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ0)
8382, 10nn0expcld 13071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝐾 ∈ ℕ → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
8584adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℕ0)
8685nn0cnd 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ)
87 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
8887adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
8945nncnd 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
9089adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → 𝑞 ∈ ℂ)
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑞 ∈ ℂ)
9286, 88, 913jca 1261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
9392adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ))
94 mulass 10062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞) = ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · 𝑚) · 𝑞) = ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
9680, 95breqtrd 4711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) → 𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)))
98 breq2 4689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) ↔ 𝑞𝐾))
9998adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → (𝑞 ∥ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) ↔ 𝑞𝐾))
10097, 99mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → 𝑞𝐾)
10169, 71, 100rspcedvd 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
102101a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑞 ≠ 2) ∧ ((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))
103102exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑞 ≠ 2 → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
104103com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (((2↑(2 pCnt 𝐾)) · (𝑚 · 𝑞)) = 𝐾 → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
10563, 104sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
106105rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑚 ∈ ℕ (𝑚 · 𝑞) = (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
10748, 106sylbid 230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝑞 ≠ 2 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
10844, 107syldd 72 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
109108rexlimdva 3060 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
110109com12 32 . . . . . . . . . 10 (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (𝐾 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
111110impd 446 . . . . . . . . 9 (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑞 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
11239, 111syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ‘2) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
11338, 112jaoi 393 . . . . . . 7 (((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) = 1 ∨ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
11416, 113sylbi 207 . . . . . 6 ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ → ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
115114com12 32 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
11615, 115sylbid 230 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾)))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)))
117116ex 449 . . 3 (𝐾 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝐾 / (2↑(2 pCnt 𝐾))) → ((2↑(2 pCnt 𝐾)) ∥ 𝐾 → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))))
1183, 5, 117mp2d 49 . 2 (𝐾 ∈ ℕ → (¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾))
119118imp 444 1 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ ¬ ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐾 = (2↑𝑛)) → ∃𝑝 ∈ (ℙ ∖ {2})𝑝𝐾)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∃wrex 2942   ∖ cdif 3604  {csn 4210   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   / cdiv 10722  ℕcn 11058  2c2 11108  ℕ0cn0 11330  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ↑cexp 12900   ∥ cdvds 15027  ℙcprime 15432   pCnt cpc 15588 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589 This theorem is referenced by:  2pwp1prm  41828
 Copyright terms: Public domain W3C validator