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Theorem odd2np1 15273
Description: An integer is odd iff it is one plus twice another integer. (Contributed by Scott Fenton, 3-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
odd2np1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem odd2np1
Dummy variables 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 11611 . . . 4 2 ∈ ℤ
2 divides 15191 . . . 4 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
31, 2mpan 670 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
43notbid 307 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
5 elznn0 11594 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)))
6 odd2np1lem 15272 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
76adantl 467 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8 odd2np1lem 15272 . . . . . . 7 (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁))
9 peano2z 11620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
10 znegcl 11614 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 + 1) ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
1211ad2antlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → -(𝑥 + 1) ∈ ℤ)
13 zcn 11584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
14 2cn 11293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℂ
15 mulcl 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
1614, 15mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
17 peano2cn 10410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
1913, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
2019adantl 467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ)
21 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
2221recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
23 negcon2 10536 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2 · 𝑥) + 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
2420, 22, 23syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1)))
25 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ -((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁)
2614, 13, 15sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
27 ax-1cn 10196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
2814, 27mulcli 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 · 1) ∈ ℂ
29 addsubass 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ (2 · 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3028, 27, 29mp3an23 1564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
3126, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1) = ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)))
32 2t1e2 11378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 · 1) = 2
3332oveq1i 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 · 1) − 1) = (2 − 1)
34 2m1e1 11337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 − 1) = 1
3533, 34eqtri 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 · 1) − 1) = 1
3635oveq2i 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 𝑥) + ((2 · 1) − 1)) = ((2 · 𝑥) + 1)
3731, 36syl6req 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
38 adddi 10227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
3914, 27, 38mp3an13 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℂ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4013, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 1)))
4140oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (((2 · 𝑥) + (2 · 1)) − 1))
4237, 41eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
4342negeqd 10477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
449zcnd 11685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
45 mulneg2 10669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4614, 44, 45sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · -(𝑥 + 1)) = -(2 · (𝑥 + 1)))
4746oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
48 mulcl 10222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℂ) → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
4914, 44, 48sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ)
50 negsubdi 10539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2 · (𝑥 + 1)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5149, 27, 50sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · (𝑥 + 1)) − 1) = (-(2 · (𝑥 + 1)) + 1))
5247, 51eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = -((2 · (𝑥 + 1)) − 1))
5343, 52eqtr4d 2808 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5453adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → -((2 · 𝑥) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
5554eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (-((2 · 𝑥) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5625, 55syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 = -((2 · 𝑥) + 1) ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5724, 56bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
5857biimpa 462 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁)
59 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (2 · 𝑛) = (2 · -(𝑥 + 1)))
6059oveq1d 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → ((2 · 𝑛) + 1) = ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1))
6160eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = -(𝑥 + 1) → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁))
6261rspcev 3460 . . . . . . . . . . 11 ((-(𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ ((2 · -(𝑥 + 1)) + 1) = 𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6312, 58, 62syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁)
6463ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
6564rexlimdva 3179 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 → ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
66 znegcl 11614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6766ad2antlr 706 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → -𝑦 ∈ ℤ)
68 zcn 11584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
69 mulcl 10222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
7068, 14, 69sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
71 recn 10228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℂ)
72 negcon2 10536 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 · 2) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
7370, 71, 72syl2anr 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁𝑁 = -(𝑦 · 2)))
74 mulneg1 10668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7568, 14, 74sylancl 574 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℤ → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7675adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (-𝑦 · 2) = -(𝑦 · 2))
7776eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((-𝑦 · 2) = 𝑁 ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁))
78 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ -(𝑦 · 2) = 𝑁)
7977, 78syl6rbbr 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑁 = -(𝑦 · 2) ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8073, 79bitrd 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8180biimpa 462 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (-𝑦 · 2) = 𝑁)
82 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = -𝑦 → (𝑘 · 2) = (-𝑦 · 2))
8382eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = -𝑦 → ((𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ (-𝑦 · 2) = 𝑁))
8483rspcev 3460 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑦 ∈ ℤ ∧ (-𝑦 · 2) = 𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8567, 81, 84syl2anc 573 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ∧ (𝑦 · 2) = -𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
8685ex 397 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8786rexlimdva 3179 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
8865, 87orim12d 949 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → ((∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = -𝑁 ∨ ∃𝑦 ∈ ℤ (𝑦 · 2) = -𝑁) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
898, 88syl5 34 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ → (-𝑁 ∈ ℕ0 → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)))
9089imp 393 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ -𝑁 ∈ ℕ0) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
917, 90jaodan 942 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ -𝑁 ∈ ℕ0)) → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
925, 91sylbi 207 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
93 halfnz 11657 . . . 4 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
94 reeanv 3255 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
95 eqtr3 2792 . . . . . . 7 ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → ((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2))
96 zcn 11584 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℤ → 𝑘 ∈ ℂ)
97 mulcom 10224 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9896, 14, 97sylancl 574 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 · 2) = (2 · 𝑘))
9998eqeq2d 2781 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10099adantl 467 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
101 mulcl 10222 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
10214, 96, 101sylancr 575 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (2 · 𝑘) ∈ ℂ)
103 zcn 11584 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
104 mulcl 10222 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
10514, 103, 104sylancr 575 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℤ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
106 subadd 10486 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
10727, 106mp3an3 1561 . . . . . . . . . 10 (((2 · 𝑘) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
108102, 105, 107syl2anr 584 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘)))
109 subcl 10482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
110 2cnne0 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
111 eqcom 2778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (1 / 2) = (𝑘𝑛))
112 divmul 10890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((1 / 2) = (𝑘𝑛) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
113111, 112syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
11427, 110, 113mp3an13 1563 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘𝑛) ∈ ℂ → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
115109, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
116115ancoms 455 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ (2 · (𝑘𝑛)) = 1))
117 subdi 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
11814, 117mp3an1 1559 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
119118ancoms 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
120119eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((2 · (𝑘𝑛)) = 1 ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
121116, 120bitrd 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
122103, 96, 121syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) ↔ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1))
123 zsubcl 11621 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝑘𝑛) ∈ ℤ)
124 eleq1 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → ((𝑘𝑛) ∈ ℤ ↔ (1 / 2) ∈ ℤ))
125123, 124syl5ibcom 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
126125ancoms 455 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘𝑛) = (1 / 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
127122, 126sylbird 250 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)) = 1 → (1 / 2) ∈ ℤ))
128108, 127sylbird 250 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (2 · 𝑘) → (1 / 2) ∈ ℤ))
129100, 128sylbid 230 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑛) + 1) = (𝑘 · 2) → (1 / 2) ∈ ℤ))
13095, 129syl5 34 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ))
131130rexlimivv 3184 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13294, 131sylbir 225 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) → (1 / 2) ∈ ℤ)
13393, 132mto 188 . . 3 ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)
134 pm5.17 997 . . . 4 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁))
135 bicom 212 . . . 4 ((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ↔ ¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
136134, 135bitri 264 . . 3 (((∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∨ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁) ∧ ¬ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁)) ↔ (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
13792, 133, 136sylanblc 577 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 · 2) = 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
1384, 137bitrd 268 1 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  2c2 11272  0cn0 11494  cz 11579  cdvds 15189
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-n0 11495  df-z 11580  df-dvds 15190
This theorem is referenced by:  oddm1even  15275  oexpneg  15277  mod2eq1n2dvds  15279  oddnn02np1  15280  2tp1odd  15284  sqoddm1div8z  15286  ltoddhalfle  15293  halfleoddlt  15294  opoe  15295  omoe  15296  opeo  15297  omeo  15298  m1expo  15300  m1exp1  15301  flodddiv4  15345  iserodd  15747  leibpilem1  24888  lgsquadlem1  25326  knoppndvlem9  32848  coskpi2  40595  cosknegpi  40598  stirlinglem5  40812  fourierswlem  40964  fmtnoodd  41973  dfodd3  42091
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