Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvlss 20238
 Description: The orthocomplement of a subset is a linear subspace of the pre-Hilbert space. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvss.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvss.o = (ocv‘𝑊)
ocvlss.l 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvlss ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)

Proof of Theorem ocvlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocvss.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 ocvss.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
31, 2ocvss 20236 . . 3 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
43a1i 11 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
5 simpr 479 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆𝑉)
6 phllmod 20197 . . . . . 6 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
76adantr 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8 eqid 2760 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
91, 8lmod0vcl 19114 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
107, 9syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (0g𝑊) ∈ 𝑉)
11 simpll 807 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
125sselda 3744 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
13 eqid 2760 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
14 eqid 2760 . . . . . . 7 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
15 eqid 2760 . . . . . . 7 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
1613, 14, 1, 15, 8ip0l 20203 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑥𝑉) → ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1711, 12, 16syl2anc 696 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ 𝑥𝑆) → ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
1817ralrimiva 3104 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ∀𝑥𝑆 ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
191, 14, 13, 15, 2elocv 20234 . . . 4 ((0g𝑊) ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉 ∧ (0g𝑊) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑆 ((0g𝑊)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
205, 10, 18, 19syl3anbrc 1429 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (0g𝑊) ∈ ( 𝑆))
21 ne0i 4064 . . 3 ((0g𝑊) ∈ ( 𝑆) → ( 𝑆) ≠ ∅)
2220, 21syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ≠ ∅)
235adantr 472 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑆𝑉)
247adantr 472 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑊 ∈ LMod)
25 simpr1 1234 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
26 simpr2 1236 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑦 ∈ ( 𝑆))
273, 26sseldi 3742 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑦𝑉)
28 eqid 2760 . . . . . . 7 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
29 eqid 2760 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
301, 13, 28, 29lmodvscl 19102 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
3124, 25, 27, 30syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
32 simpr3 1238 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑧 ∈ ( 𝑆))
333, 32sseldi 3742 . . . . 5 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → 𝑧𝑉)
34 eqid 2760 . . . . . 6 (+g𝑊) = (+g𝑊)
351, 34lmodvacl 19099 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3624, 31, 33, 35syl3anc 1477 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
3711adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ PreHil)
3831adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉)
3933adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑧𝑉)
4012adantlr 753 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑥𝑉)
41 eqid 2760 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
4213, 14, 1, 34, 41ipdir 20206 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦) ∈ 𝑉𝑧𝑉𝑥𝑉)) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)))
4337, 38, 39, 40, 42syl13anc 1479 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)))
4425adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
4527adantr 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑦𝑉)
46 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
4713, 14, 1, 29, 28, 46ipass 20212 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦𝑉𝑥𝑉)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)))
4837, 44, 45, 40, 47syl13anc 1479 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)))
491, 14, 13, 15, 2ocvi 20235 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5026, 49sylan 489 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑦(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5150oveq2d 6830 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝑦(·𝑖𝑊)𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
5224adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
5313lmodring 19093 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
5529, 46, 15ringrz 18808 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5654, 44, 55syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5748, 51, 563eqtrd 2798 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
581, 14, 13, 15, 2ocvi 20235 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5932, 58sylan 489 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6057, 59oveq12d 6832 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(·𝑖𝑊)𝑥)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(·𝑖𝑊)𝑥)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
6113lmodfgrp 19094 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
6229, 15grpidcl 17671 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6329, 41, 15grplid 17673 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6462, 63mpdan 705 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6552, 61, 643syl 18 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6643, 60, 653eqtrd 2798 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) ∧ 𝑥𝑆) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
6766ralrimiva 3104 . . . 4 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ∀𝑥𝑆 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
681, 14, 13, 15, 2elocv 20234 . . . 4 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆) ↔ (𝑆𝑉 ∧ ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥𝑆 (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧)(·𝑖𝑊)𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
6923, 36, 67, 68syl3anbrc 1429 . . 3 (((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑦 ∈ ( 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ ( 𝑆))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆))
7069ralrimivvva 3110 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( 𝑆)∀𝑧 ∈ ( 𝑆)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆))
71 ocvlss.l . . 3 𝐿 = (LSubSp‘𝑊)
7213, 29, 1, 34, 28, 71islss 19157 . 2 (( 𝑆) ∈ 𝐿 ↔ (( 𝑆) ⊆ 𝑉 ∧ ( 𝑆) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑦 ∈ ( 𝑆)∀𝑧 ∈ ( 𝑆)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑦)(+g𝑊)𝑧) ∈ ( 𝑆)))
734, 22, 70, 72syl3anbrc 1429 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ∈ 𝐿)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∀wral 3050   ⊆ wss 3715  ∅c0 4058  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  .rcmulr 16164  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  ·𝑖cip 16168  0gc0g 16322  Grpcgrp 17643  Ringcrg 18767  LModclmod 19085  LSubSpclss 19154  PreHilcphl 20191  ocvcocv 20226 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-plusg 16176  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-0g 16324  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-grp 17646  df-ghm 17879  df-mgp 18710  df-ring 18769  df-lmod 19087  df-lss 19155  df-lmhm 19244  df-lvec 19325  df-sra 19394  df-rgmod 19395  df-phl 20193  df-ocv 20229 This theorem is referenced by:  ocvin  20240  ocvlsp  20242  csslss  20257  pjdm2  20277  pjff  20278  pjf2  20280  pjfo  20281  ocvpj  20283  pjthlem2  23429  pjth  23430
 Copyright terms: Public domain W3C validator