MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ocvlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocvlsp 20237
Description: The orthocomplement of a linear span. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ocvlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ocvlsp.o = (ocv‘𝑊)
ocvlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
ocvlsp ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘(𝑁𝑆)) = ( 𝑆))

Proof of Theorem ocvlsp
StepHypRef Expression
1 phllmod 20192 . . . 4 (𝑊 ∈ PreHil → 𝑊 ∈ LMod)
2 ocvlsp.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 ocvlsp.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
42, 3lspssid 19198 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
51, 4sylan 569 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝑁𝑆))
6 ocvlsp.o . . . 4 = (ocv‘𝑊)
76ocv2ss 20234 . . 3 (𝑆 ⊆ (𝑁𝑆) → ( ‘(𝑁𝑆)) ⊆ ( 𝑆))
85, 7syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘(𝑁𝑆)) ⊆ ( 𝑆))
92, 6ocvss 20231 . . . . 5 ( 𝑆) ⊆ 𝑉
109a1i 11 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ 𝑉)
112, 6ocvocv 20232 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → ( 𝑆) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑆))))
1210, 11syldan 579 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ ( ‘( ‘( 𝑆))))
131adantr 466 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
14 eqid 2771 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
152, 6, 14ocvlss 20233 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ ( 𝑆) ⊆ 𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1610, 15syldan 579 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( 𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊))
172, 6ocvocv 20232 . . . . 5 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆)))
1814, 3lspssp 19201 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ( ‘( 𝑆)) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ 𝑆 ⊆ ( ‘( 𝑆))) → (𝑁𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
1913, 16, 17, 18syl3anc 1476 . . . 4 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → (𝑁𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)))
206ocv2ss 20234 . . . 4 ((𝑁𝑆) ⊆ ( ‘( 𝑆)) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( ‘(𝑁𝑆)))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘( ‘( 𝑆))) ⊆ ( ‘(𝑁𝑆)))
2212, 21sstrd 3762 . 2 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( 𝑆) ⊆ ( ‘(𝑁𝑆)))
238, 22eqssd 3769 1 ((𝑊 ∈ PreHil ∧ 𝑆𝑉) → ( ‘(𝑁𝑆)) = ( 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  cfv 6031  Basecbs 16064  LModclmod 19073  LSubSpclss 19142  LSpanclspn 19184  PreHilcphl 20186  ocvcocv 20221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-tpos 7504  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-grp 17633  df-ghm 17866  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-ring 18757  df-oppr 18831  df-rnghom 18925  df-staf 19055  df-srng 19056  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-lsp 19185  df-lmhm 19235  df-lvec 19316  df-sra 19387  df-rgmod 19388  df-phl 20188  df-ocv 20224
This theorem is referenced by:  ocvz  20239  obselocv  20289  obslbs  20291
  Copyright terms: Public domain W3C validator