Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocorth Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocorth 28481
 Description: Members of a subset and its complement are orthogonal. (Contributed by NM, 9-Aug-2000.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocorth (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))

Proof of Theorem ocorth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ocel 28471 . . . . . 6 (𝐻 ⊆ ℋ → (𝐵 ∈ (⊥‘𝐻) ↔ (𝐵 ∈ ℋ ∧ ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)))
21simplbda 655 . . . . 5 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
32adantl 473 . . . 4 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0)
4 oveq2 6823 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ·ih 𝑥) = (𝐵 ·ih 𝐴))
54eqeq1d 2763 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐵 ·ih 𝑥) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
65rspcv 3446 . . . . . 6 (𝐴𝐻 → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
76ad2antlr 765 . . . . 5 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
8 ssel2 3740 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) → 𝐴 ∈ ℋ)
9 ocss 28475 . . . . . . 7 (𝐻 ⊆ ℋ → (⊥‘𝐻) ⊆ ℋ)
109sselda 3745 . . . . . 6 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐵 ∈ ℋ)
11 orthcom 28296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
128, 10, 11syl2an 495 . . . . 5 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
137, 12sylibrd 249 . . . 4 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (∀𝑥𝐻 (𝐵 ·ih 𝑥) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
143, 13mpd 15 . . 3 (((𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐴𝐻) ∧ (𝐻 ⊆ ℋ ∧ 𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1514anandis 908 . 2 ((𝐻 ⊆ ℋ ∧ (𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻))) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
1615ex 449 1 (𝐻 ⊆ ℋ → ((𝐴𝐻𝐵 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  ∀wral 3051   ⊆ wss 3716  ‘cfv 6050  (class class class)co 6815  0cc0 10149   ℋchil 28107   ·ih csp 28110  ⊥cort 28118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-hilex 28187  ax-hfvadd 28188  ax-hv0cl 28191  ax-hfvmul 28193  ax-hvmul0 28198  ax-hfi 28267  ax-his1 28270  ax-his2 28271  ax-his3 28272 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482  df-div 10898  df-2 11292  df-cj 14059  df-re 14060  df-im 14061  df-sh 28395  df-oc 28440 This theorem is referenced by:  shocorth  28482  ococss  28483  riesz3i  29252
 Copyright terms: Public domain W3C validator