HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocnel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocnel 28488
Description: A nonzero vector in the complement of a subspace does not belong to the subspace. (Contributed by NM, 10-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocnel ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)

Proof of Theorem ocnel
StepHypRef Expression
1 elin 3940 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ (𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)))
2 ocin 28486 . . . . . . . . 9 (𝐻S → (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) = 0)
32eleq2d 2826 . . . . . . . 8 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ 𝐴 ∈ 0))
43biimpd 219 . . . . . . 7 (𝐻S → (𝐴 ∈ (𝐻 ∩ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
51, 4syl5bir 233 . . . . . 6 (𝐻S → ((𝐴𝐻𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → 𝐴 ∈ 0))
65expcomd 453 . . . . 5 (𝐻S → (𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0)))
76imp 444 . . . 4 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 ∈ 0))
8 elch0 28442 . . . 4 (𝐴 ∈ 0𝐴 = 0)
97, 8syl6ib 241 . . 3 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴𝐻𝐴 = 0))
109necon3ad 2946 . 2 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻)) → (𝐴 ≠ 0 → ¬ 𝐴𝐻))
11103impia 1110 1 ((𝐻S𝐴 ∈ (⊥‘𝐻) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ¬ 𝐴𝐻)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2140  wne 2933  cin 3715  cfv 6050  0c0v 28112   S csh 28116  cort 28118  0c0h 28123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-hilex 28187  ax-hfvadd 28188  ax-hv0cl 28191  ax-hfvmul 28193  ax-hvmul0 28198  ax-hfi 28267  ax-his2 28271  ax-his3 28272  ax-his4 28273
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-ov 6818  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sh 28395  df-oc 28440  df-ch0 28441
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator