HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ocin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ocin 28283
Description: Intersection of a Hilbert subspace and its complement. Part of Proposition 1 of [Kalmbach] p. 65. (Contributed by NM, 11-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ocin (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)

Proof of Theorem ocin
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shocel 28269 . . . . . . 7 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ (𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0)))
2 oveq2 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥 ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih 𝑥))
32eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥 ·ih 𝑦) = 0 ↔ (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
43rspccv 3337 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0 → (𝑥𝐴 → (𝑥 ·ih 𝑥) = 0))
5 his6 28084 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 ↔ 𝑥 = 0))
65biimpd 219 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑥 ·ih 𝑥) = 0 → 𝑥 = 0))
74, 6sylan9r 691 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥 ·ih 𝑦) = 0) → (𝑥𝐴𝑥 = 0))
81, 7syl6bi 243 . . . . . 6 (𝐴S → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → (𝑥𝐴𝑥 = 0)))
98com23 86 . . . . 5 (𝐴S → (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) → 𝑥 = 0)))
109impd 446 . . . 4 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) → 𝑥 = 0))
11 sh0 28201 . . . . . 6 (𝐴S → 0𝐴)
12 oc0 28277 . . . . . 6 (𝐴S → 0 ∈ (⊥‘𝐴))
1311, 12jca 553 . . . . 5 (𝐴S → (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
14 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴 ↔ 0𝐴))
15 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝑥 ∈ (⊥‘𝐴) ↔ 0 ∈ (⊥‘𝐴)))
1614, 15anbi12d 747 . . . . 5 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ (0𝐴 ∧ 0 ∈ (⊥‘𝐴))))
1713, 16syl5ibrcom 237 . . . 4 (𝐴S → (𝑥 = 0 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴))))
1810, 17impbid 202 . . 3 (𝐴S → ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 = 0))
19 elin 3829 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (⊥‘𝐴)))
20 elch0 28239 . . 3 (𝑥 ∈ 0𝑥 = 0)
2118, 19, 203bitr4g 303 . 2 (𝐴S → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) ↔ 𝑥 ∈ 0))
2221eqrdv 2649 1 (𝐴S → (𝐴 ∩ (⊥‘𝐴)) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  cin 3606  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974  chil 27904   ·ih csp 27907  0c0v 27909   S csh 27913  cort 27915  0c0h 27920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sh 28192  df-oc 28237  df-ch0 28238
This theorem is referenced by:  ocnel  28285  chocunii  28288  pjhtheu  28381  pjpreeq  28385  omlsi  28391  ococi  28392  pjoc1i  28418  orthin  28433  ssjo  28434  chocini  28441  chscllem3  28626
  Copyright terms: Public domain W3C validator