Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  obs2ss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem obs2ss 20121
 Description: A basis has no proper subsets that are also bases. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
obs2ss ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 = 𝐵)

Proof of Theorem obs2ss
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1083 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (0g𝑊) = (0g𝑊)
32obsne0 20117 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ≠ (0g𝑊))
433ad2antl1 1243 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥 ≠ (0g𝑊))
5 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (ocv‘𝑊) = (ocv‘𝑊)
65obselocv 20120 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥𝐶))
763expa 1284 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥𝐶))
873adantl2 1238 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ ¬ 𝑥𝐶))
9 simpl2 1085 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊))
102, 5obsocv 20118 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g𝑊)})
119, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((ocv‘𝑊)‘𝐶) = {(0g𝑊)})
1211eleq2d 2716 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) ↔ 𝑥 ∈ {(0g𝑊)}))
13 elsni 4227 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ {(0g𝑊)} → 𝑥 = (0g𝑊))
1412, 13syl6bi 243 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ ((ocv‘𝑊)‘𝐶) → 𝑥 = (0g𝑊)))
158, 14sylbird 250 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (¬ 𝑥𝐶𝑥 = (0g𝑊)))
1615necon1ad 2840 . . . . 5 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ≠ (0g𝑊) → 𝑥𝐶))
174, 16mpd 15 . . . 4 (((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐶)
1817ex 449 . . 3 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) → (𝑥𝐵𝑥𝐶))
1918ssrdv 3642 . 2 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐵𝐶)
201, 19eqssd 3653 1 ((𝐵 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶 ∈ (OBasis‘𝑊) ∧ 𝐶𝐵) → 𝐶 = 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   ⊆ wss 3607  {csn 4210  ‘cfv 5926  0gc0g 16147  ocvcocv 20052  OBasiscobs 20094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-mhm 17382  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-ghm 17705  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-rnghom 18763  df-drng 18797  df-staf 18893  df-srng 18894  df-lmod 18913  df-lss 18981  df-lsp 19020  df-lmhm 19070  df-lvec 19151  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-phl 20019  df-ocv 20055  df-obs 20097 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator