MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oaword1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oaword1 7785
Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (For the other part see oaord1 7784.) (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaword1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem oaword1
StepHypRef Expression
1 oa0 7749 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
21adantr 466 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
3 0ss 4114 . . 3 ∅ ⊆ 𝐵
4 0elon 5921 . . . 4 ∅ ∈ On
5 oaword 7782 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
653com13 1117 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
74, 6mp3an3 1560 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
83, 7mpbii 223 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
92, 8eqsstr3d 3787 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wss 3721  c0 4061  Oncon0 5866  (class class class)co 6792   +𝑜 coa 7709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-oadd 7716
This theorem is referenced by:  oawordexr  7789  oa00  7792  oaf1o  7796  omordi  7799  omeulem2  7816  oeeui  7835  nnarcl  7849  omxpenlem  8216  cantnfle  8731  cantnflem1d  8748  cantnflem3  8751  cantnflem4  8752
  Copyright terms: Public domain W3C validator