Theorem oaabslem 7768

Description: Lemma for oaabs 7769. (Contributed by NM, 9-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaabslem	⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ω) = ω)

Proof of Theorem oaabslem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 7113	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2		limom 7122	. . . . . 6 ⊢ Lim ω
3	2	jctr 564	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → (ω ∈ On ∧ Lim ω))
4		oalim 7657	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (ω ∈ On ∧ Lim ω)) → (𝐴 +𝑜 ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥))
5	1, 3, 4	syl2an 493	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ω) = ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥))
6		ordom 7116	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
7		nnacl 7736	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑥) ∈ ω)
8		ordelss 5777	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ (𝐴 +𝑜 𝑥) ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
9	6, 7, 8	sylancr 696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
10	9	ralrimiva 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
11		iunss 4593	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω ↔ ∀𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
12	10, 11	sylibr 224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → ∪ 𝑥 ∈ ω (𝐴 +𝑜 𝑥) ⊆ ω)
14	5, 13	eqsstrd 3672	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ ω ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ω) ⊆ ω)
15	14	ancoms 468	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ω) ⊆ ω)
16		oaword2 7678	. . 3 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → ω ⊆ (𝐴 +𝑜 ω))
17	1, 16	sylan2 490	. 2 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → ω ⊆ (𝐴 +𝑜 ω))
18	15, 17	eqssd 3653	1 ⊢ ((ω ∈ On ∧ 𝐴 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 ω) = ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941   ⊆ wss 3607  ∪ ciun 4552  Ord word 5760  Oncon0 5761  Lim wlim 5762  (class class class)co 6690  ωcom 7107   +_𝑜 coa 7602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609

This theorem is referenced by:  oaabs  7769  oaabs2  7770  oancom  8586