MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oa0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oa0 7749
Description: Addition with zero. Proposition 8.3 of [TakeutiZaring] p. 57. (Contributed by NM, 3-May-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
oa0 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem oa0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elon 5921 . . 3 ∅ ∈ On
2 oav 7744 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
31, 2mpan2 663 . 2 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅))
4 rdg0g 7675 . 2 (𝐴 ∈ On → (rec((𝑥 ∈ V ↦ suc 𝑥), 𝐴)‘∅) = 𝐴)
53, 4eqtrd 2804 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1630  wcel 2144  Vcvv 3349  c0 4061  cmpt 4861  Oncon0 5866  suc csuc 5868  cfv 6031  (class class class)co 6792  reccrdg 7657   +𝑜 coa 7709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-oadd 7716
This theorem is referenced by:  oa1suc  7764  oacl  7768  oa0r  7771  om0r  7772  oawordri  7783  oaord1  7784  oaword1  7785  oawordeulem  7787  oa00  7792  oaass  7794  oarec  7795  odi  7812  oeoalem  7829  nna0  7837  nna0r  7842  nnm0r  7843  nnawordi  7854  cantnflt  8732  rdgeqoa  33548
  Copyright terms: Public domain W3C validator