MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1rlimmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1rlimmul 14393
Description: The product of an eventually bounded function and a function of limit zero has limit zero. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
o1rlimmul ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ⇝𝑟 0)

Proof of Theorem o1rlimmul
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑎 𝑏 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1f 14304 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3 ffn 6083 . . . 4 (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ → 𝐹 Fn dom 𝐹)
42, 3syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5 rlimf 14276 . . . . 5 (𝐺𝑟 0 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
65adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
7 ffn 6083 . . . 4 (𝐺:dom 𝐺⟶ℂ → 𝐺 Fn dom 𝐺)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 o1dm 14305 . . . . 5 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
109adantr 480 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐹 ⊆ ℝ)
11 reex 10065 . . . 4 ℝ ∈ V
12 ssexg 4837 . . . 4 ((dom 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
1310, 11, 12sylancl 695 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐹 ∈ V)
14 rlimss 14277 . . . . 5 (𝐺𝑟 0 → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
1514adantl 481 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐺 ⊆ ℝ)
16 ssexg 4837 . . . 4 ((dom 𝐺 ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → dom 𝐺 ∈ V)
1715, 11, 16sylancl 695 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → dom 𝐺 ∈ V)
18 eqid 2651 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
19 eqidd 2652 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
20 eqidd 2652 . . 3 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
214, 8, 13, 17, 18, 19, 20offval 6946 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
22 o1bdd 14306 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
231, 22mpdan 703 . . . . . 6 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
2423ad2antrr 762 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
25 fvexd 6241 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ V)
2625ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝐺𝑥) ∈ V)
27 simplr 807 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
28 recn 10064 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 ∈ ℝ → 𝑚 ∈ ℂ)
2928ad2antll 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℂ)
3029abscld 14219 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
3129absge0d 14227 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ (abs‘𝑚))
3230, 31ge0p1rpd 11940 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
3327, 32rpdivcld 11927 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ+)
346feqmptd 6288 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
35 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → 𝐺𝑟 0)
3634, 35eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ⇝𝑟 0)
3736ad2antrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ⇝𝑟 0)
3826, 33, 37rlimi 14288 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
39 inss1 3866 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
40 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚)))
4139, 40ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚))
42 inss2 3867 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
43 ssralv 3699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
4541, 44anim12i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
46 r19.26 3093 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) ↔ (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4745, 46sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
48 prth 594 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
4948ralimi 2981 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ (𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
51 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑎 ∈ ℝ)
52 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑏 ∈ ℝ)
5339, 10syl5ss 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
5453ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ ℝ)
55 simprr 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
5654, 55sseldd 3637 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ ℝ)
57 maxle 12060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
5851, 52, 56, 57syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 ↔ (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
5958biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (𝑎𝑥𝑏𝑥)))
606ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
6142sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
6261ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
6360, 62ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
6463subid1d 10419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐺𝑥) − 0) = (𝐺𝑥))
6564fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) = (abs‘(𝐺𝑥)))
6665breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ↔ (abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
6763abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
6833adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ+)
6968rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)
70 ltle 10164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7167, 69, 70syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺𝑥)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7266, 71sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) → (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
7372anim2d 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
742ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7539sseli 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7675ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
7774, 76ffvelrnd 6400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7877abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
7977absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥)))
8078, 79jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))))
81 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℝ)
8263absge0d 14227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥)))
8367, 82jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))))
84 lemul12a 10919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((abs‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑥))) ∧ 𝑚 ∈ ℝ) ∧ (((abs‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑥))) ∧ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)) ∈ ℝ)) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8580, 81, 83, 69, 84syl22anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘(𝐺𝑥)) ≤ (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8677, 63absmuld 14237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))))
8786breq1d 4695 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ↔ ((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))))
8881recnd 10106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ∈ ℂ)
8927adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
9089rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℂ)
9132adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ+)
9291rpcnd 11912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℂ)
9391rpne0d 11915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ≠ 0)
9488, 90, 92, 93divassd 10874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) = (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))))
95 peano2re 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘𝑚) ∈ ℝ → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9630, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘𝑚) + 1) ∈ ℝ)
9830adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) ∈ ℝ)
9981leabsd 14197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 ≤ (abs‘𝑚))
10098ltp1d 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘𝑚) < ((abs‘𝑚) + 1))
10181, 98, 97, 99, 100lelttrd 10233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑚 < ((abs‘𝑚) + 1))
10281, 97, 89, 101ltmul1dd 11965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦))
10389rpred 11910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → 𝑦 ∈ ℝ)
10481, 103remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · 𝑦) ∈ ℝ)
105104, 103, 91ltdivmuld 11961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦 ↔ (𝑚 · 𝑦) < (((abs‘𝑚) + 1) · 𝑦)))
106102, 105mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝑚 · 𝑦) / ((abs‘𝑚) + 1)) < 𝑦)
10794, 106eqbrtrrd 4709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦)
10877, 63mulcld 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
109108abscld 14219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℝ)
11081, 69remulcld 10108 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ)
111 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ ℝ ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
112109, 110, 103, 111syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) ∧ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
113107, 112mpan2d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → ((abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11487, 113sylbird 250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) · (abs‘(𝐺𝑥))) ≤ (𝑚 · (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11573, 85, 1143syld 60 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
11659, 115imim12d 81 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))) → (((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
117116anassrs 681 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
118117ralimdva 2991 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
119 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑏 ∈ ℝ)
120 simplrl 817 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → 𝑎 ∈ ℝ)
121119, 120ifcld 4164 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ)
122118, 121jctild 565 . . . . . . . . . 10 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝑎𝑥𝑏𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚 ∧ (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
123 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → (𝑧𝑥 ↔ if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥))
124123imbi1d 330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → ((𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦) ↔ (if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
125124ralbidv 3015 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) → (∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
126125rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 ((if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(if(𝑎𝑏, 𝑏, 𝑎) ≤ 𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
12750, 122, 126syl56 36 . . . . . . . . 9 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ((∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
128127expcomd 453 . . . . . . . 8 (((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
129128rexlimdva 3060 . . . . . . 7 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐺(𝑏𝑥 → (abs‘((𝐺𝑥) − 0)) < (𝑦 / ((abs‘𝑚) + 1))) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))))
13038, 129mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
131130rexlimdvva 3067 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝑎𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑚) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
13224, 131mpd 15 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
133132ralrimiva 2995 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦))
134 ffvelrn 6397 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1352, 75, 134syl2an 493 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
136 ffvelrn 6397 . . . . . . 7 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
1376, 61, 136syl2an 493 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
138135, 137mulcld 10098 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
139138ralrimiva 2995 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
140139, 53rlim0 14283 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ⇝𝑟 0 ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)(𝑧𝑥 → (abs‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) < 𝑦)))
141133, 140mpbird 247 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ⇝𝑟 0)
14221, 141eqbrtrd 4707 1 ((𝐹 ∈ 𝑂(1) ∧ 𝐺𝑟 0) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ⇝𝑟 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cin 3606  wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304   / cdiv 10722  +crp 11870  abscabs 14018  𝑟 crli 14260  𝑂(1)co1 14261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ico 12219  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-rlim 14264  df-o1 14265
This theorem is referenced by:  chtppilimlem2  25208  chpchtlim  25213
  Copyright terms: Public domain W3C validator