MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1resb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1resb 14496
Description: The restriction of a function to an unbounded-above interval is eventually bounded iff the original is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimresb.1 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
rlimresb.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
rlimresb.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
o1resb (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))

Proof of Theorem o1resb
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1res 14490 . 2 (𝐹 ∈ 𝑂(1) → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1))
2 rlimresb.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
32feqmptd 6411 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)))
43reseq1d 5550 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)))
5 resmpt3 5608 . . . . 5 ((𝑥𝐴 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥))
64, 5syl6eq 2810 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)))
76eleq1d 2824 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1)))
8 inss1 3976 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ 𝐴
9 rlimresb.2 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
108, 9syl5ss 3755 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ⊆ ℝ)
118sseli 3740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → 𝑥𝐴)
12 ffvelrn 6520 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
132, 11, 12syl2an 495 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
1410, 13elo1mpt 14464 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1) ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
15 elin 3939 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↔ (𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)))
1615imbi1i 338 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
17 impexp 461 . . . . . . . . 9 (((𝑥𝐴𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
1816, 17bitri 264 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
19 impexp 461 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
20 rlimresb.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2120ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
229adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
2322sselda 3744 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
24 elicopnf 12462 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐵𝑥)))
2524baibd 986 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2621, 23, 25syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ↔ 𝐵𝑥))
2726anbi1d 743 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
28 simplrl 819 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
29 maxle 12215 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3021, 28, 23, 29syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 ↔ (𝐵𝑥𝑦𝑥)))
3127, 30bitr4d 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) ↔ if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥))
3231imbi1d 330 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → (((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) ∧ 𝑦𝑥) → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
3319, 32syl5bbr 274 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
3433pm5.74da 725 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ (𝐵[,)+∞) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
3518, 34syl5bb 272 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) → (𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) ↔ (𝑥𝐴 → (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧))))
3635ralbidv2 3122 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) ↔ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)))
372adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
38 simprl 811 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3920adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4038, 39ifcld 4275 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ)
41 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
42 elo12r 14458 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧)) → 𝐹 ∈ 𝑂(1))
43423expia 1115 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4437, 22, 40, 41, 43syl22anc 1478 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥𝐴 (if(𝐵𝑦, 𝑦, 𝐵) ≤ 𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4536, 44sylbid 230 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ)) → (∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4645rexlimdvva 3176 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑧 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞))(𝑦𝑥 → (abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑧) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
4714, 46sylbid 230 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐵[,)+∞)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
487, 47sylbid 230 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1) → 𝐹 ∈ 𝑂(1)))
491, 48impbid2 216 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ 𝑂(1) ↔ (𝐹 ↾ (𝐵[,)+∞)) ∈ 𝑂(1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051  cin 3714  wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804  cmpt 4881  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  +∞cpnf 10263  cle 10267  [,)cico 12370  abscabs 14173  𝑂(1)co1 14416
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-sup 8513  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ico 12374  df-seq 12996  df-exp 13055  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-o1 14420  df-lo1 14421
This theorem is referenced by:  chpo1ub  25368  dchrisum0lem2a  25405  pntrsumo1  25453
  Copyright terms: Public domain W3C validator