MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1res2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1res2 14513
Description: The restriction of a function is eventually bounded if the original is. (Contributed by Mario Carneiro, 21-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rlimres2.1 (𝜑𝐴𝐵)
o1res2.2 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1res2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem o1res2
StepHypRef Expression
1 rlimres2.1 . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
21resmptd 5610 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴𝐶))
3 o1res2.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝑂(1))
4 o1res 14510 . . 3 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝑂(1) → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))
53, 4syl 17 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐵𝐶) ↾ 𝐴) ∈ 𝑂(1))
62, 5eqeltrrd 2840 1 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wss 3715  cmpt 4881  cres 5268  𝑂(1)co1 14436
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-sup 8515  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-o1 14440  df-lo1 14441
This theorem is referenced by:  logno1  24602  chebbnd2  25386  chpo1ub  25389  vmadivsumb  25392  vmalogdivsum2  25447  vmalogdivsum  25448  2vmadivsumlem  25449  selbergb  25458  selberg2lem  25459  selberg2b  25461  selberg3lem1  25466  selberg3lem2  25467  selberg3  25468  selberg4lem1  25469  selberg4  25470  pntrsumo1  25474  pntrlog2bndlem2  25487  pntrlog2bndlem4  25489
  Copyright terms: Public domain W3C validator