Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1cxp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1cxp 24900
 Description: An eventually bounded function taken to a nonnegative power is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
o1cxp.1 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
o1cxp.2 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
o1cxp.3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1cxp.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1cxp (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1cxp
Dummy variables 𝑚 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 o1cxp.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
2 o1f 14459 . . . . 5 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ)
4 o1cxp.3 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
54ralrimiva 3104 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
6 dmmptg 5793 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
87feq2d 6192 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵):dom (𝑥𝐴𝐵)⟶ℂ ↔ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ))
93, 8mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ)
10 o1bdd 14461 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐵):𝐴⟶ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
111, 9, 10syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚))
12 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
13 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
1413fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1512, 4, 14syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
1615oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (𝐵𝑐𝐶))
17 ovex 6841 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵𝑐𝐶) ∈ V
18 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))
1918fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐴 ∧ (𝐵𝑐𝐶) ∈ V) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵𝑐𝐶))
2012, 17, 19sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = (𝐵𝑐𝐶))
2116, 20eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥))
2221ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥))
23 nfv 1992 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥)
24 nffvmpt1 6360 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)
25 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝑐
26 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥𝐶
2724, 25, 26nfov 6839 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)
28 nffvmpt1 6360 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)
2927, 28nfeq 2914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)
30 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧))
3130oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶))
32 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3331, 32eqeq12d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → ((((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)))
3423, 29, 33cbvral 3306 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑥) ↔ ∀𝑧𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3522, 34sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧𝐴 (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3635r19.21bi 3070 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3736ad2ant2r 800 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶) = ((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧))
3837fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) = (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)))
399ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
4039ad2ant2r 800 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧) ∈ ℂ)
41 o1cxp.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4241ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝐶 ∈ ℂ)
43 o1cxp.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
4443ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 0 ≤ (ℜ‘𝐶))
45 simprr 813 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ∈ ℝ)
46 0re 10232 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
47 ifcl 4274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
4845, 46, 47sylancl 697 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
4948adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0) ∈ ℝ)
5040abscld 14374 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ∈ ℝ)
5145adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52 simprr 813 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)
53 max2 12211 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5446, 45, 53sylancr 698 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5554adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → 𝑚 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5650, 51, 49, 52, 55letrd 10386 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
5740, 42, 44, 49, 56abscxpbnd 24693 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘(((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)↑𝑐𝐶)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
5838, 57eqbrtrrd 4828 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚)) → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))
5958expr 644 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))))
6059imim2d 57 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
6160ralimdva 3100 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))))
624, 1o1mptrcl 14552 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
6341adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
6462, 63cxpcld 24653 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑐𝐶) ∈ ℂ)
6564, 18fmptd 6548 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
6665adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ)
67 o1dm 14460 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
681, 67syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
697, 68eqsstr3d 3781 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
7069adantr 472 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
71 simprl 811 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
72 max1 12209 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
7346, 45, 72sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0))
7441adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
7574recld 14133 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (ℜ‘𝐶) ∈ ℝ)
7648, 73, 75recxpcld 24668 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) ∈ ℝ)
7774abscld 14374 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (abs‘𝐶) ∈ ℝ)
78 pire 24409 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
79 remulcl 10213 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐶) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
8077, 78, 79sylancl 697 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((abs‘𝐶) · π) ∈ ℝ)
8180reefcld 15017 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (exp‘((abs‘𝐶) · π)) ∈ ℝ)
8276, 81remulcld 10262 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)
83 elo12r 14458 . . . . . 6 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ) ∧ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
84833expia 1115 . . . . 5 ((((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)):𝐴⟶ℂ ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π))) ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8566, 70, 71, 82, 84syl22anc 1478 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶))‘𝑧)) ≤ ((if(0 ≤ 𝑚, 𝑚, 0)↑𝑐(ℜ‘𝐶)) · (exp‘((abs‘𝐶) · π)))) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8661, 85syld 47 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℝ)) → (∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8786rexlimdvva 3176 . 2 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∃𝑚 ∈ ℝ ∀𝑧𝐴 (𝑦𝑧 → (abs‘((𝑥𝐴𝐵)‘𝑧)) ≤ 𝑚) → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1)))
8811, 87mpd 15 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵𝑐𝐶)) ∈ 𝑂(1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340   ⊆ wss 3715  ifcif 4230   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  ℂcc 10126  ℝcr 10127  0cc0 10128   · cmul 10133   ≤ cle 10267  ℜcre 14036  abscabs 14173  𝑂(1)co1 14416  expce 14991  πcpi 14996  ↑𝑐ccxp 24501 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-o1 14420  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-limc 23829  df-dv 23830  df-log 24502  df-cxp 24503 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator