MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  o1add2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem o1add2 14561
Description: The sum of two eventually bounded functions is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
o1add2.2 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
o1add2.3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
o1add2.4 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
Assertion
Ref Expression
o1add2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem o1add2
StepHypRef Expression
1 o1add2.1 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
21ralrimiva 3114 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
3 dmmptg 5776 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) = 𝐴)
5 o1add2.3 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1))
6 o1dm 14468 . . . . . 6 ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝐵) ⊆ ℝ)
84, 7eqsstr3d 3787 . . . 4 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
9 reex 10228 . . . . 5 ℝ ∈ V
109ssex 4933 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ∈ V)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ V)
12 o1add2.2 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
13 eqidd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵))
14 eqidd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) = (𝑥𝐴𝐶))
1511, 1, 12, 13, 14offval2 7060 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) = (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)))
16 o1add2.4 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1))
17 o1add 14551 . . 3 (((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝑂(1) ∧ (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝑂(1)) → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
185, 16, 17syl2anc 565 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∘𝑓 + (𝑥𝐴𝐶)) ∈ 𝑂(1))
1915, 18eqeltrrd 2850 1 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ (𝐵 + 𝐶)) ∈ 𝑂(1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  Vcvv 3349  wss 3721  cmpt 4861  dom cdm 5249  (class class class)co 6792  𝑓 cof 7041  cr 10136   + caddc 10140  𝑂(1)co1 14424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-of 7043  df-om 7212  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-er 7895  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-rp 12035  df-ico 12385  df-seq 13008  df-exp 13067  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-o1 14428
This theorem is referenced by:  dchrvmasumlem2  25407  dchrisum0lem1  25425  dchrisum0lem3  25428  mulog2sumlem2  25444  selberglem1  25454  selberg3  25468  selberg4  25470  selberg4r  25479  selberg34r  25480  pntrlog2bndlem2  25487
  Copyright terms: Public domain W3C validator