Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nzadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzadd 11463
 Description: The sum of a real number not being an integer and an integer is not an integer. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
nzadd ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))

Proof of Theorem nzadd
StepHypRef Expression
1 eldif 3617 . . 3 (𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ))
2 zre 11419 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℝ)
3 readdcl 10057 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
42, 3sylan2 490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
54adantlr 751 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
6 zsubcl 11457 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ)
76expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
87adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ))
9 recn 10064 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
10 zcn 11420 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
11 pncan 10325 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
129, 10, 11syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) = 𝐴)
1312eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((𝐴 + 𝐵) − 𝐵) ∈ ℤ ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
148, 13sylibd 229 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℤ))
1514con3d 148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
1615ex 449 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
1716com23 86 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (¬ 𝐴 ∈ ℤ → (𝐵 ∈ ℤ → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)))
1817imp31 447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ)
195, 18jca 553 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ ¬ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
201, 19sylanb 488 . 2 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
21 eldif 3617 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ) ↔ ((𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℤ))
2220, 21sylibr 224 1 ((𝐴 ∈ (ℝ ∖ ℤ) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ (ℝ ∖ ℤ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∖ cdif 3604  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973   + caddc 9977   − cmin 10304  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416 This theorem is referenced by:  dvdsaddre2b  15076
 Copyright terms: Public domain W3C validator