MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvsge0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvsge0 27860
Description: The norm of a scalar product with a nonnegative real. (Contributed by NM, 1-Jan-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvs.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvs.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvs.6 𝑁 = (normCV𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvsge0 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = (𝐴 · (𝑁𝐵)))

Proof of Theorem nvsge0
StepHypRef Expression
1 recn 10226 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
21adantr 473 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
3 nvs.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4 nvs.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
5 nvs.6 . . . 4 𝑁 = (normCV𝑈)
63, 4, 5nvs 27859 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
72, 6syl3an2 1165 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)))
8 absid 14247 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
983ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → (abs‘𝐴) = 𝐴)
109oveq1d 6806 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → ((abs‘𝐴) · (𝑁𝐵)) = (𝐴 · (𝑁𝐵)))
117, 10eqtrd 2803 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑁‘(𝐴𝑆𝐵)) = (𝐴 · (𝑁𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1069   = wceq 1629  wcel 2143   class class class wbr 4783  cfv 6030  (class class class)co 6791  cc 10134  cr 10135  0cc0 10136   · cmul 10141  cle 10275  abscabs 14185  NrmCVeccnv 27780  BaseSetcba 27782   ·𝑠OLD cns 27783  normCVcnmcv 27786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1868  ax-4 1883  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2145  ax-9 2152  ax-10 2172  ax-11 2188  ax-12 2201  ax-13 2406  ax-ext 2749  ax-rep 4901  ax-sep 4911  ax-nul 4919  ax-pow 4970  ax-pr 5033  ax-un 7094  ax-cnex 10192  ax-resscn 10193  ax-1cn 10194  ax-icn 10195  ax-addcl 10196  ax-addrcl 10197  ax-mulcl 10198  ax-mulrcl 10199  ax-mulcom 10200  ax-addass 10201  ax-mulass 10202  ax-distr 10203  ax-i2m1 10204  ax-1ne0 10205  ax-1rid 10206  ax-rnegex 10207  ax-rrecex 10208  ax-cnre 10209  ax-pre-lttri 10210  ax-pre-lttrn 10211  ax-pre-ltadd 10212  ax-pre-mulgt0 10213  ax-pre-sup 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1632  df-ex 1851  df-nf 1856  df-sb 2048  df-eu 2620  df-mo 2621  df-clab 2756  df-cleq 2762  df-clel 2765  df-nfc 2900  df-ne 2942  df-nel 3045  df-ral 3064  df-rex 3065  df-reu 3066  df-rmo 3067  df-rab 3068  df-v 3350  df-sbc 3585  df-csb 3680  df-dif 3723  df-un 3725  df-in 3727  df-ss 3734  df-pss 3736  df-nul 4061  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4572  df-iun 4653  df-br 4784  df-opab 4844  df-mpt 4861  df-tr 4884  df-id 5156  df-eprel 5161  df-po 5169  df-so 5170  df-fr 5207  df-we 5209  df-xp 5254  df-rel 5255  df-cnv 5256  df-co 5257  df-dm 5258  df-rn 5259  df-res 5260  df-ima 5261  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6752  df-ov 6794  df-oprab 6795  df-mpt2 6796  df-om 7211  df-1st 7313  df-2nd 7314  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-rdg 7657  df-er 7894  df-en 8108  df-dom 8109  df-sdom 8110  df-sup 8502  df-pnf 10276  df-mnf 10277  df-xr 10278  df-ltxr 10279  df-le 10280  df-sub 10468  df-neg 10469  df-div 10885  df-nn 11221  df-2 11279  df-3 11280  df-n0 11493  df-z 11578  df-uz 11888  df-rp 12035  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14050  df-re 14051  df-im 14052  df-sqrt 14186  df-abs 14187  df-vc 27755  df-nv 27788  df-va 27791  df-ba 27792  df-sm 27793  df-0v 27794  df-nmcv 27796
This theorem is referenced by:  nvz0  27864  nv1  27871  ipidsq  27906  nmblolbii  27995  blocnilem  28000  ubthlem2  28068
  Copyright terms: Public domain W3C validator