Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvrinv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvrinv 27846
 Description: A vector minus itself. (Contributed by NM, 4-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvrinv.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvrinv.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
nvrinv.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
nvrinv.6 𝑍 = (0vec𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvrinv ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = 𝑍)

Proof of Theorem nvrinv
StepHypRef Expression
1 nvrinv.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 27812 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvrinv.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 27799 . . . 4 𝑋 = ran 𝐺
5 eqid 2771 . . . 4 (GId‘𝐺) = (GId‘𝐺)
6 eqid 2771 . . . 4 (inv‘𝐺) = (inv‘𝐺)
74, 5, 6grporinv 27721 . . 3 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)) = (GId‘𝐺))
82, 7sylan 569 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)) = (GId‘𝐺))
9 nvrinv.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
103, 1, 9, 6nvinv 27834 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (-1𝑆𝐴) = ((inv‘𝐺)‘𝐴))
1110oveq2d 6809 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = (𝐴𝐺((inv‘𝐺)‘𝐴)))
12 nvrinv.6 . . . 4 𝑍 = (0vec𝑈)
131, 120vfval 27801 . . 3 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝑍 = (GId‘𝐺))
1413adantr 466 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → 𝑍 = (GId‘𝐺))
158, 11, 143eqtr4d 2815 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋) → (𝐴𝐺(-1𝑆𝐴)) = 𝑍)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  1c1 10139  -cneg 10469  GrpOpcgr 27683  GIdcgi 27684  invcgn 27685  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·𝑠OLD cns 27782  0veccn0v 27783 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-ltxr 10281  df-sub 10470  df-neg 10471  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795 This theorem is referenced by:  nvpncan2  27848  ipidsq  27905  ip2i  28023  ipdirilem  28024  ipasslem2  28027
 Copyright terms: Public domain W3C validator