Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvmdi 27837
 Description: Distributive law for scalar product over subtraction. (Contributed by NM, 14-Feb-2008.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvmdi.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvmdi.3 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
nvmdi.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvmdi ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))

Proof of Theorem nvmdi
StepHypRef Expression
1 simpr1 1232 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simpr2 1234 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
3 neg1cn 11325 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
4 nvmdi.1 . . . . . . . 8 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
5 nvmdi.4 . . . . . . . 8 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
64, 5nvscl 27815 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
73, 6mp3an2 1559 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐶𝑋) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
873ad2antr3 1204 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
91, 2, 83jca 1121 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋))
10 eqid 2770 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
114, 10, 5nvdi 27819 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋 ∧ (-1𝑆𝐶) ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
129, 11syldan 571 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))))
134, 5nvscom 27818 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
143, 13mp3anr2 1569 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
15143adantr2 1174 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(-1𝑆𝐶)) = (-1𝑆(𝐴𝑆𝐶)))
1615oveq2d 6808 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(𝐴𝑆(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
1712, 16eqtrd 2804 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
18 nvmdi.3 . . . . 5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
194, 10, 5, 18nvmval 27831 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
20193adant3r1 1196 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑀𝐶) = (𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶)))
2120oveq2d 6808 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = (𝐴𝑆(𝐵( +𝑣𝑈)(-1𝑆𝐶))))
22 simpl 468 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
234, 5nvscl 27815 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
24233adant3r3 1198 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋)
254, 5nvscl 27815 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑋) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
26253adant3r2 1197 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋)
274, 10, 5, 18nvmval 27831 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑆𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴𝑆𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2822, 24, 26, 27syl3anc 1475 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)( +𝑣𝑈)(-1𝑆(𝐴𝑆𝐶))))
2917, 21, 283eqtr4d 2814 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝑆(𝐵𝑀𝐶)) = ((𝐴𝑆𝐵)𝑀(𝐴𝑆𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  ℂcc 10135  1c1 10138  -cneg 10468  NrmCVeccnv 27773   +𝑣 cpv 27774  BaseSetcba 27775   ·𝑠OLD cns 27776   −𝑣 cnsb 27778 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-po 5170  df-so 5171  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-er 7895  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-ltxr 10280  df-sub 10469  df-neg 10470  df-grpo 27681  df-gid 27682  df-ginv 27683  df-gdiv 27684  df-ablo 27733  df-vc 27748  df-nv 27781  df-va 27784  df-ba 27785  df-sm 27786  df-0v 27787  df-vs 27788  df-nmcv 27789 This theorem is referenced by:  smcnlem  27886  minvecolem2  28065
 Copyright terms: Public domain W3C validator