MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nvgcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nvgcl 27815
Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nvgcl.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgcl.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
Assertion
Ref Expression
nvgcl ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvgcl
StepHypRef Expression
1 nvgcl.2 . . 3 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
21nvgrp 27812 . 2 (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3 nvgcl.1 . . . 4 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
43, 1bafval 27799 . . 3 𝑋 = ran 𝐺
54grpocl 27694 . 2 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
62, 5syl3an1 1166 1 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  cfv 6031  (class class class)co 6793  GrpOpcgr 27683  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-grpo 27687  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-nmcv 27795
This theorem is referenced by:  nvmf  27840  nvpncan2  27848  nvaddsub4  27852  nvdif  27861  nvpi  27862  nvabs  27867  imsmetlem  27885  vacn  27889  ipval2lem2  27899  4ipval2  27903  lnocoi  27952  0lno  27985  blocnilem  27999  ip0i  28020  ip1ilem  28021  ip2i  28023  ipdirilem  28024  ipasslem10  28034  dipdi  28038  ip2dii  28039  pythi  28045  sspph  28050  ipblnfi  28051  ubthlem2  28067  minvecolem2  28071  hhshsslem2  28465
  Copyright terms: Public domain W3C validator