Theorem nummul1c 11775

Description: The product of a decimal integer with a number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
nummul1c.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2	⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5	⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7	⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
nummul1c.8	⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
nummul1c.9	⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
nummul1c	⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul1c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nummul1c.5	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2		nummul1c.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ0
3		nummul1c.3	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
4		nummul1c.4	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
5	2, 3, 4	numcl 11723	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
6	1, 5	eqeltri 2836	. . 3 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
7		nummul1c.2	. . 3 ⊢ 𝑃 ∈ ℕ0
8	6, 7	num0u 11721	. 2 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑁 · 𝑃) + 0)
9		0nn0 11520	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℕ0
10	2, 9	num0h 11722	. . 3 ⊢ 0 = ((𝑇 · 0) + 0)
11		nummul1c.6	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
12		nummul1c.7	. . 3 ⊢ 𝐸 ∈ ℕ0
13	12	nn0cni 11517	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ ℂ
14	13	addid2i 10437	. . . . 5 ⊢ (0 + 𝐸) = 𝐸
15	14	oveq2i 6826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸)
16		nummul1c.8	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
17	15, 16	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((𝐴 · 𝑃) + (0 + 𝐸)) = 𝐶
18	4, 7	num0u 11721	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝐵 · 𝑃) + 0)
19		nummul1c.9	. . . 4 ⊢ (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
20	18, 19	eqtr3i 2785	. . 3 ⊢ ((𝐵 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
21	2, 3, 4, 9, 9, 1, 10, 7, 11, 12, 17, 20	nummac 11771	. 2 ⊢ ((𝑁 · 𝑃) + 0) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
22	8, 21	eqtri 2783	1 ⊢ (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  (class class class)co 6815  0cc0 10149   + caddc 10152   · cmul 10154  ℕ₀cn0 11505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-nn 11234  df-n0 11506

This theorem is referenced by:  nummul2c  11776  decmul1  11798  decmul1OLD  11799  decmul1c  11800  decmul1cOLD  11801