Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummac Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummac 11771
 Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
nummac.8 𝑃 ∈ ℕ0
nummac.9 𝐹 ∈ ℕ0
nummac.10 𝐺 ∈ ℕ0
nummac.11 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
nummac.12 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
Assertion
Ref Expression
nummac ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem nummac
StepHypRef Expression
1 numma.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
21nn0cni 11517 . . . 4 𝑇 ∈ ℂ
3 numma.2 . . . . . . . . 9 𝐴 ∈ ℕ0
43nn0cni 11517 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℂ
5 nummac.8 . . . . . . . . 9 𝑃 ∈ ℕ0
65nn0cni 11517 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℂ
74, 6mulcli 10258 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
8 numma.4 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℕ0
98nn0cni 11517 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℂ
10 nummac.10 . . . . . . . 8 𝐺 ∈ ℕ0
1110nn0cni 11517 . . . . . . 7 𝐺 ∈ ℂ
127, 9, 11addassi 10261 . . . . . 6 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺))
13 nummac.11 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + (𝐶 + 𝐺)) = 𝐸
1412, 13eqtri 2783 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸
157, 9addcli 10257 . . . . . 6 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ∈ ℂ
1615, 11addcli 10257 . . . . 5 (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) ∈ ℂ
1714, 16eqeltrri 2837 . . . 4 𝐸 ∈ ℂ
182, 17, 11subdii 10692 . . 3 (𝑇 · (𝐸𝐺)) = ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺))
1918oveq1i 6825 . 2 ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
20 numma.3 . . 3 𝐵 ∈ ℕ0
21 numma.5 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
22 numma.6 . . 3 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
23 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
2417, 11, 15subadd2i 10582 . . . . 5 ((𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) ↔ (((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) + 𝐺) = 𝐸)
2514, 24mpbir 221 . . . 4 (𝐸𝐺) = ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)
2625eqcomi 2770 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = (𝐸𝐺)
27 nummac.12 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹)
281, 3, 20, 8, 21, 22, 23, 5, 26, 27numma 11770 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · (𝐸𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
292, 17mulcli 10258 . . . . 5 (𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ
302, 11mulcli 10258 . . . . 5 (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ
31 npcan 10503 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐸) ∈ ℂ ∧ (𝑇 · 𝐺) ∈ ℂ) → (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸))
3229, 30, 31mp2an 710 . . . 4 (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) = (𝑇 · 𝐸)
3332oveq1i 6825 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
3429, 30subcli 10570 . . . 4 ((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) ∈ ℂ
35 nummac.9 . . . . 5 𝐹 ∈ ℕ0
3635nn0cni 11517 . . . 4 𝐹 ∈ ℂ
3734, 30, 36addassi 10261 . . 3 ((((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + (𝑇 · 𝐺)) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3833, 37eqtr3i 2785 . 2 ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹) = (((𝑇 · 𝐸) − (𝑇 · 𝐺)) + ((𝑇 · 𝐺) + 𝐹))
3919, 28, 383eqtr4i 2793 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1632   ∈ wcel 2140  (class class class)co 6815  ℂcc 10147   + caddc 10152   · cmul 10154   − cmin 10479  ℕ0cn0 11505 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-ltxr 10292  df-sub 10481  df-nn 11234  df-n0 11506 This theorem is referenced by:  numma2c  11772  numaddc  11774  nummul1c  11775  decmac  11779  decmacOLD  11780
 Copyright terms: Public domain W3C validator