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Theorem numma 11595
Description: Perform a multiply-add of two decimal integers 𝑀 and 𝑁 against a fixed multiplicand 𝑃 (no carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numma.1 𝑇 ∈ ℕ0
numma.2 𝐴 ∈ ℕ0
numma.3 𝐵 ∈ ℕ0
numma.4 𝐶 ∈ ℕ0
numma.5 𝐷 ∈ ℕ0
numma.6 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
numma.7 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
numma.8 𝑃 ∈ ℕ0
numma.9 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
numma.10 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
Assertion
Ref Expression
numma ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)

Proof of Theorem numma
StepHypRef Expression
1 numma.6 . . . 4 𝑀 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
21oveq1i 6700 . . 3 (𝑀 · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃)
3 numma.7 . . 3 𝑁 = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
42, 3oveq12i 6702 . 2 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
5 numma.1 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℕ0
65nn0cni 11342 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
7 numma.2 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℕ0
87nn0cni 11342 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℂ
9 numma.8 . . . . . . . 8 𝑃 ∈ ℕ0
109nn0cni 11342 . . . . . . 7 𝑃 ∈ ℂ
118, 10mulcli 10083 . . . . . 6 (𝐴 · 𝑃) ∈ ℂ
12 numma.4 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℕ0
1312nn0cni 11342 . . . . . 6 𝐶 ∈ ℂ
146, 11, 13adddii 10088 . . . . 5 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
156, 8, 10mulassi 10087 . . . . . 6 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) = (𝑇 · (𝐴 · 𝑃))
1615oveq1i 6700 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) = ((𝑇 · (𝐴 · 𝑃)) + (𝑇 · 𝐶))
1714, 16eqtr4i 2676 . . . 4 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶))
1817oveq1i 6700 . . 3 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
196, 8mulcli 10083 . . . . . 6 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℂ
20 numma.3 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℕ0
2120nn0cni 11342 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℂ
2219, 21, 10adddiri 10089 . . . . 5 (((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) = (((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃))
2322oveq1i 6700 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
2419, 10mulcli 10083 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) ∈ ℂ
256, 13mulcli 10083 . . . . 5 (𝑇 · 𝐶) ∈ ℂ
2621, 10mulcli 10083 . . . . 5 (𝐵 · 𝑃) ∈ ℂ
27 numma.5 . . . . . 6 𝐷 ∈ ℕ0
2827nn0cni 11342 . . . . 5 𝐷 ∈ ℂ
2924, 25, 26, 28add4i 10298 . . . 4 ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝐵 · 𝑃)) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
3023, 29eqtr4i 2676 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) · 𝑃) + (𝑇 · 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷))
3118, 30eqtr4i 2676 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) · 𝑃) + ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷))
32 numma.9 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶) = 𝐸
3332oveq2i 6701 . . 3 (𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) = (𝑇 · 𝐸)
34 numma.10 . . 3 ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷) = 𝐹
3533, 34oveq12i 6702 . 2 ((𝑇 · ((𝐴 · 𝑃) + 𝐶)) + ((𝐵 · 𝑃) + 𝐷)) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
364, 31, 353eqtr2i 2679 1 ((𝑀 · 𝑃) + 𝑁) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  (class class class)co 6690   + caddc 9977   · cmul 9979  0cn0 11330
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-nn 11059  df-n0 11331
This theorem is referenced by:  nummac  11596  numadd  11598  decma  11602  decmaOLD  11603
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