Theorem numinfctb 38194

Description: A numerable infinite set contains a countable subset. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
numinfctb	⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Proof of Theorem numinfctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omelon 8719	. . . . 5 ⊢ ω ∈ On
2		onenon 8986	. . . . 5 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ω ∈ dom card
4		domtri2 9026	. . . 4 ⊢ ((ω ∈ dom card ∧ 𝑆 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
5	3, 4	mpan 708	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
6		isfinite 8725	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝑆 ≺ ω)
7	6	notbii 309	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω)
8	5, 7	syl6bbr 278	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ∈ Fin))
9	8	biimpar 503	1 ⊢ ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∈ wcel 2140   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  Oncon0 5885  ωcom 7232   ≼ cdom 8122   ≺ csdm 8123  Fincfn 8124  cardccrd 8972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  38196