Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  numinfctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numinfctb 38194
Description: A numerable infinite set contains a countable subset. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
numinfctb ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)

Proof of Theorem numinfctb
StepHypRef Expression
1 omelon 8719 . . . . 5 ω ∈ On
2 onenon 8986 . . . . 5 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 ω ∈ dom card
4 domtri2 9026 . . . 4 ((ω ∈ dom card ∧ 𝑆 ∈ dom card) → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
53, 4mpan 708 . . 3 (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω))
6 isfinite 8725 . . . 4 (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝑆 ≺ ω)
76notbii 309 . . 3 𝑆 ∈ Fin ↔ ¬ 𝑆 ≺ ω)
85, 7syl6bbr 278 . 2 (𝑆 ∈ dom card → (ω ≼ 𝑆 ↔ ¬ 𝑆 ∈ Fin))
98biimpar 503 1 ((𝑆 ∈ dom card ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ω ≼ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  wcel 2140   class class class wbr 4805  dom cdm 5267  Oncon0 5885  ωcom 7232  cdom 8122  csdm 8123  Fincfn 8124  cardccrd 8972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-inf2 8714
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-pss 3732  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-tp 4327  df-op 4329  df-uni 4590  df-int 4629  df-iun 4675  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-tr 4906  df-id 5175  df-eprel 5180  df-po 5188  df-so 5189  df-fr 5226  df-we 5228  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-pred 5842  df-ord 5888  df-on 5889  df-lim 5890  df-suc 5891  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-om 7233  df-wrecs 7578  df-recs 7639  df-rdg 7677  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-fin 8128  df-card 8976
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  38196
  Copyright terms: Public domain W3C validator