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Theorem numclwwlk6 27529
Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk6.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21finrusgrfusgr 26642 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
323adant2 1123 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4 prmnn 15561 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
54adantr 472 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
61numclwwlk4 27525 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
73, 5, 6syl2an 495 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
87oveq1d 6816 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃))
95adantl 473 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10 simp3 1130 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
1110adantr 472 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
1211adantr 472 . . . . . . 7 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
131clwwlknonfin 27212 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin)
14 hashcl 13310 . . . . . . 7 ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
1512, 13, 143syl 18 . . . . . 6 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
1615nn0zd 11643 . . . . 5 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
1716ralrimiva 3092 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
189, 11, 17modfsummod 14696 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19 simpl 474 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20 simpr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
2120anim1i 593 . . . . . . . 8 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ 𝑥𝑉))
2221ancomd 466 . . . . . . 7 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
23 3anass 1081 . . . . . . 7 ((𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
2422, 23sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
251numclwwlk5 27527 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
2619, 24, 25syl2an2r 911 . . . . 5 ((((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
2726sumeq2dv 14603 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥𝑉 1)
2827oveq1d 6816 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃))
2918, 28eqtrd 2782 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃))
30 1cnd 10219 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
31 fsumconst 14692 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
3210, 30, 31syl2an 495 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
33 hashcl 13310 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
3433nn0red 11515 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
35 ax-1rid 10169 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
37363ad2ant3 1127 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
3837adantr 472 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
3932, 38eqtrd 2782 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 1 = (♯‘𝑉))
4039oveq1d 6816 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
418, 29, 403eqtrd 2786 1 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1620  wcel 2127   class class class wbr 4792  cfv 6037  (class class class)co 6801  Fincfn 8109  cc 10097  cr 10098  1c1 10100   · cmul 10104  cmin 10429  cn 11183  0cn0 11455  cz 11540   mod cmo 12833  chash 13282  Σcsu 14586  cdvds 15153  cprime 15558  Vtxcvtx 26044  FinUSGraphcfusgr 26378  RegUSGraphcrusgr 26633   ClWWalksN cclwwlkn 27118  ClWWalksNOncclwwlknon 27203   FriendGraph cfrgr 27381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-inf2 8699  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176  ax-pre-sup 10177
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-disj 4761  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-se 5214  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-isom 6046  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8501  df-inf 8502  df-oi 8568  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-div 10848  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-xadd 12111  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-fl 12758  df-mod 12834  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-word 13456  df-lsw 13457  df-concat 13458  df-s1 13459  df-substr 13460  df-s2 13764  df-cj 14009  df-re 14010  df-im 14011  df-sqrt 14145  df-abs 14146  df-clim 14389  df-sum 14587  df-dvds 15154  df-gcd 15390  df-prm 15559  df-phi 15644  df-vtx 26046  df-iedg 26047  df-edg 26110  df-uhgr 26123  df-ushgr 26124  df-upgr 26147  df-umgr 26148  df-uspgr 26215  df-usgr 26216  df-fusgr 26379  df-nbgr 26395  df-vtxdg 26543  df-rgr 26634  df-rusgr 26635  df-wwlks 26904  df-wwlksn 26905  df-wwlksnon 26906  df-clwwlk 27076  df-clwwlkn 27120  df-clwwlknon 27204  df-frgr 27382
This theorem is referenced by:  numclwwlk7  27530
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