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Theorem numclwwlk5 27587
Description: Statement 13 in [Huneke] p. 2: "Let p be a prime divisor of k-1; then f(p) = 1 (mod p) [for each vertex v]". (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 2-Jun-2021.) (Revised by AV, 7-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem numclwwlk5
StepHypRef Expression
1 simpl1 1227 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2 simpr1 1233 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑋𝑉)
3 numclwwlk3.v . . . . . . . . . . . . 13 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43finrusgrfusgr 26696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
543adant2 1125 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
65adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
7 simpr1 1233 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
8 ne0i 4069 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑉𝑉 ≠ ∅)
98adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝑉 ≠ ∅)
103frusgrnn0 26702 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)
116, 7, 9, 10syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
1211ex 397 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ0))
13123ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ0))
1413impcom 394 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
151, 2, 143jca 1122 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0))
16 simpr3 1237 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → 2 ∥ (𝐾 − 1))
173numclwwlk5lem 27586 . . . . 5 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑋𝑉𝐾 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (𝐾 − 1) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
1815, 16, 17sylc 65 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1)
1918a1i 11 . . 3 (𝑃 = 2 → (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
20 eleq1 2838 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∈ ℙ ↔ 2 ∈ ℙ))
21 breq1 4789 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) ↔ 2 ∥ (𝐾 − 1)))
2220, 213anbi23d 1550 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1))))
2322anbi2d 614 . . 3 (𝑃 = 2 → (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ↔ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉 ∧ 2 ∈ ℙ ∧ 2 ∥ (𝐾 − 1)))))
24 oveq2 6801 . . . . . 6 (𝑃 = 2 → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2))
2524fveq2d 6336 . . . . 5 (𝑃 = 2 → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)))
26 id 22 . . . . 5 (𝑃 = 2 → 𝑃 = 2)
2725, 26oveq12d 6811 . . . 4 (𝑃 = 2 → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2))
2827eqeq1d 2773 . . 3 (𝑃 = 2 → (((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1 ↔ ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)2)) mod 2) = 1))
2919, 23, 283imtr4d 283 . 2 (𝑃 = 2 → (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
30 3simpa 1142 . . . . . . . 8 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
3130adantr 466 . . . . . . 7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
3231adantl 467 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ))
33 simprl3 1270 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑉 ∈ Fin)
34 simprr1 1272 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑋𝑉)
35 eldifsn 4453 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
36 oddprmge3 15619 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
3735, 36sylbir 225 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
3837ex 397 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ‘3)))
39383ad2ant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ‘3)))
4039adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ≠ 2 → 𝑃 ∈ (ℤ‘3)))
4140impcom 394 . . . . . 6 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
423numclwwlk3 27584 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑃 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
4332, 33, 34, 41, 42syl13anc 1478 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))))
4443oveq1d 6808 . . . 4 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
45123ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐾 ∈ ℕ0))
4645impcom 394 . . . . . . . . . 10 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
4746nn0zd 11682 . . . . . . . . 9 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11622 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
49 zre 11583 . . . . . . . . 9 ((𝐾 − 1) ∈ ℤ → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
5047, 48, 493syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
51 simpl3 1231 . . . . . . . . . 10 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
523clwwlknonfin 27268 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin)
53 hashcl 13349 . . . . . . . . . 10 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ0)
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . 9 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℕ0)
5554nn0red 11554 . . . . . . . 8 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℝ)
5650, 55remulcld 10272 . . . . . . 7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ)
5746nn0red 11554 . . . . . . . 8 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝐾 ∈ ℝ)
58 prmm2nn0 15617 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
59583ad2ant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
6059adantl 467 . . . . . . . 8 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 − 2) ∈ ℕ0)
6157, 60reexpcld 13232 . . . . . . 7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ)
62 prmnn 15595 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6362nnrpd 12073 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ+)
64633ad2ant2 1128 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6564adantl 467 . . . . . . 7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
6656, 61, 653jca 1122 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
6766adantl 467 . . . . 5 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+))
68 modaddabs 12916 . . . . . 6 ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃))
6968eqcomd 2777 . . . . 5 ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) ∈ ℝ ∧ (𝐾↑(𝑃 − 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
7067, 69syl 17 . . . 4 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) + (𝐾↑(𝑃 − 2))) mod 𝑃) = (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃))
71623ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
7271adantl 467 . . . . . . . . . 10 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
73 nn0z 11602 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℤ)
7446, 73, 483syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐾 − 1) ∈ ℤ)
7554nn0zd 11682 . . . . . . . . . 10 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ)
7672, 74, 753jca 1122 . . . . . . . . 9 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ))
77 simpr3 1237 . . . . . . . . 9 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))
78 mulmoddvds 15260 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐾 − 1) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0))
7976, 77, 78sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) = 0)
80 simpr2 1235 . . . . . . . . . 10 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℙ)
8180, 47jca 501 . . . . . . . . 9 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ))
82 powm2modprm 15715 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (𝐾 − 1) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1))
8381, 77, 82sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃) = 1)
8479, 83oveq12d 6811 . . . . . . 7 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) = (0 + 1))
8584oveq1d 6808 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = ((0 + 1) mod 𝑃))
86 0p1e1 11334 . . . . . . . . . 10 (0 + 1) = 1
8786oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 ((0 + 1) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃)
8862nnred 11237 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
89 prmgt1 15616 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 1 < 𝑃)
90 1mod 12910 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
9188, 89, 90syl2anc 573 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → (1 mod 𝑃) = 1)
9287, 91syl5eq 2817 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
93923ad2ant2 1128 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
9493adantl 467 . . . . . 6 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((0 + 1) mod 𝑃) = 1)
9585, 94eqtrd 2805 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9695adantl 467 . . . 4 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → (((((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑃 − 2)))) mod 𝑃) + ((𝐾↑(𝑃 − 2)) mod 𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9744, 70, 963eqtrd 2809 . . 3 ((𝑃 ≠ 2 ∧ ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
9897ex 397 . 2 (𝑃 ≠ 2 → (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1))
9929, 98pm2.61ine 3026 1 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑋𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Fincfn 8109  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cmin 10468  cn 11222  2c2 11272  3c3 11273  0cn0 11494  cz 11579  cuz 11888  +crp 12035   mod cmo 12876  cexp 13067  chash 13321  cdvds 15189  cprime 15592  Vtxcvtx 26095  FinUSGraphcfusgr 26431  RegUSGraphcrusgr 26687  ClWWalksNOncclwwlknon 27259   FriendGraph cfrgr 27438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xadd 12152  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-concat 13497  df-s1 13498  df-substr 13499  df-s2 13802  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-phi 15678  df-vtx 26097  df-iedg 26098  df-edg 26161  df-uhgr 26174  df-ushgr 26175  df-upgr 26198  df-umgr 26199  df-uspgr 26267  df-usgr 26268  df-fusgr 26432  df-nbgr 26448  df-vtxdg 26597  df-rgr 26688  df-rusgr 26689  df-wwlks 26958  df-wwlksn 26959  df-wwlksnon 26960  df-clwwlk 27132  df-clwwlkn 27176  df-clwwlknon 27260  df-frgr 27439
This theorem is referenced by:  numclwwlk6  27589
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