Theorem numclwwlk2lem1lemOLD 27420

Description: Obsolete version of numclwwlk2lem1lem 27419 as of 16-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk2lem1lemOLD	⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem numclwwlk2lem1lemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp2OLD 26870	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		simpll 807	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		s1cl 13493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
4	3	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
6	5	adantl 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		nn0p1gt0 11435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
8	7	adantr 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
9	8	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
10	9	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (𝑁 + 1))
11		breq2 4764	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
12	11	adantl 473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
13	12	adantr 472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
14	10, 13	mpbird 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (♯‘𝑊))
15		ccatfv0 13476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
16	2, 6, 14, 15	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
17		oveq1 6772	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
18	17	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
19	18	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
20		nn0cn 11415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
21		pncan1 10567	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
23	22	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
24	23	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
25	19, 24	eqtr2d 2759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
26	25	fveq2d 6308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
27		simpll 807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28	4	adantl 473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
29	8	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
30	12	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
31	29, 30	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (♯‘𝑊))
32		hashneq0 13268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
33	32	bicomd 213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
34	33	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
35	34	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
36	31, 35	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ≠ ∅)
37		ccatval1lsw 13477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
38	27, 28, 36, 37	syl3anc 1439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
39	26, 38	eqtr2d 2759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
40	39	neeq1d 2955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
41	40	biimpd 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
42	41	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
43	42	com23 86	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
44	43	imp32 448	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
45	16, 44	jca 555	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
46	45	exp32 632	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
47	1, 46	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
48	47	imp 444	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
49	48	impcom 445	1 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∅c0 4023   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187   − cmin 10379  ℕ₀cn0 11405  ♯chash 13232  Word cword 13398   lastS clsw 13399   ++ cconcat 13400  ⟨“cs1 13401  Vtxcvtx 25994   WWalksN cwwlksn 26850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-map 7976  df-pm 7977  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-lsw 13407  df-concat 13408  df-s1 13409  df-wwlks 26854  df-wwlksn 26855

This theorem is referenced by: (None)