Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk2lem1lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk2lem1lem 27519
 Description: Lemma for numclwwlk2lem1 27558. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.) (Revised by AV, 15-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk2lem1lem ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem numclwwlk2lem1lem
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 26968 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 simpl2 1230 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 s1cl 13592 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
43ad2antrl 766 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5 nn0p1gt0 11534 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
653ad2ant1 1128 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (𝑁 + 1))
76adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (𝑁 + 1))
8 breq2 4808 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
983ad2ant3 1130 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
109adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
117, 10mpbird 247 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → 0 < (♯‘𝑊))
12 ccatfv0 13575 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
132, 4, 11, 12syl3anc 1477 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
14 oveq1 6821 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
15143ad2ant3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
16 nn0cn 11514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
17 pncan1 10666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19183ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2015, 19eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
2120adantr 472 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
2221fveq2d 6357 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
23 simpl2 1230 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
243adantl 473 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
256adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
269adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
2725, 26mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (♯‘𝑊))
28 hashneq0 13367 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2928bicomd 213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
30293ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
3130adantr 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (♯‘𝑊)))
3227, 31mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 𝑊 ≠ ∅)
33 ccatval1lsw 13576 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
3423, 24, 32, 33syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
3522, 34eqtr2d 2795 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁))
3635neeq1d 2991 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
3736biimpd 219 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
3837impr 650 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
3913, 38jca 555 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4039exp32 632 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
411, 40syl 17 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
42413imp21 1106 1 ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (lastS‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  ∅c0 4058   class class class wbr 4804  ‘cfv 6049  (class class class)co 6814  ℂcc 10146  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   < clt 10286   − cmin 10478  ℕ0cn0 11504  ♯chash 13331  Word cword 13497  lastSclsw 13498   ++ cconcat 13499  ⟨“cs1 13500  Vtxcvtx 26094   WWalksN cwwlksn 26950 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-card 8975  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-n0 11505  df-xnn0 11576  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-hash 13332  df-word 13505  df-lsw 13506  df-concat 13507  df-s1 13508  df-wwlks 26954  df-wwlksn 26955 This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  27558  numclwwlk2lem1OLD  27565
 Copyright terms: Public domain W3C validator