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Theorem numclwwlk2lem1 27356
Description: In a friendship graph, for each walk of length 𝑛 starting at a fixed vertex 𝑣 and ending not at this vertex, there is a unique vertex so that the walk extended by an edge to this vertex and an edge from this vertex to the first vertex of the walk is a value of operation 𝐻. If the walk is represented as a word, it is sufficient to add one vertex to the word to obtain the closed walk contained in the value of operation 𝐻, since in a word representing a closed walk the starting vertex is not repeated at the end. This theorem generally holds only for friendship graphs, because these guarantee that for the first and last vertex there is a (unique) third vertex "in between". (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 30-May-2021.) (Revised by AV, 1-May-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk2lem1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → ∃!𝑣𝑉 (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉   𝑣,𝑊,𝑤
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑊(𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk2lem1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 numclwwlk.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
31, 2numclwwlkovq 27354 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
433adant1 1099 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)})
54eleq2d 2716 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
6 fveq1 6228 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘0) = (𝑊‘0))
76eqeq1d 2653 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
8 fveq2 6229 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑊 → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘𝑊))
98neeq1d 2882 . . . . 5 (𝑤 = 𝑊 → (( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))
107, 9anbi12d 747 . . . 4 (𝑤 = 𝑊 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)))
1110elrab 3396 . . 3 (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)))
125, 11syl6bb 276 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))))
13 simpl1 1084 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
14 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
151, 14wwlknp 26791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16 peano2nn 11070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
1716adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
18 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
1917, 18jca 553 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))))
2019ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))))
21203adant3 1101 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))))
2215, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))))
23 lswlgt0cl 13389 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉)
2422, 23syl6 35 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉))
2524adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (𝑁 ∈ ℕ → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉))
2625com12 32 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉))
27263ad2ant3 1104 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉))
2827imp 444 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉)
29 eleq1 2718 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊‘0) = 𝑋 → ((𝑊‘0) ∈ 𝑉𝑋𝑉))
3029biimprd 238 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (𝑋𝑉 → (𝑊‘0) ∈ 𝑉))
3130ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (𝑋𝑉 → (𝑊‘0) ∈ 𝑉))
3231com12 32 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉))
33323ad2ant2 1103 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉))
3433imp 444 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
35 neeq2 2886 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑊‘0) → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)))
3635eqcoms 2659 . . . . . . . . 9 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 ↔ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)))
3736biimpa 500 . . . . . . . 8 (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋) → ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))
3837adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))
3938adantl 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))
4028, 34, 393jca 1261 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → (( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)))
411, 14frcond2 27247 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((( lastS ‘𝑊) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → ∃!𝑣𝑉 ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))))
4213, 40, 41sylc 65 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ∃!𝑣𝑉 ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
43 simpl 472 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
4443ad2antlr 763 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
45 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
46 nnnn0 11337 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
47463ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4847ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑁 ∈ ℕ0)
4944, 45, 483jca 1261 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑣𝑉𝑁 ∈ ℕ0))
501, 14wwlksext2clwwlk 27021 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑣𝑉) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))
51503adant3 1101 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑣𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))
5251imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑣𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
5349, 52sylan 487 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) ∧ ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
541wwlknbp 26790 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉))
5554simp3d 1095 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5655ad2antrl 764 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5756ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5845adantr 480 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)) → 𝑣𝑉)
59 2z 11447 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
60 nn0pzuz 11783 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
6146, 59, 60sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
62613ad2ant3 1104 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
6362ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)) → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2))
64 simpr 476 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
651, 14clwwlkext2edg 27020 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑣𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
6657, 58, 63, 64, 65syl31anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)) → ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
6753, 66impbida 895 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))
6845, 1syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺))
6937anim2i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)))
7069ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)))
7170simprd 478 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))
72 numclwwlk2lem1lem 27324 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
7368, 44, 71, 72syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
74 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 = (𝑊‘0) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
7574eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊‘0) = 𝑋 → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
7675ad2antrl 764 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
7776ad2antlr 763 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0)))
7873simpld 474 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
7978neeq2d 2883 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
8077, 79anbi12d 747 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
8173, 80mpbird 247 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)))
82 nncn 11066 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
83 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
8482, 83pncand 10431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
85843ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
8685ad2antrr 762 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
8786fveq2d 6233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁))
8887neeq1d 2882 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)))
8988anbi2d 740 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘𝑁) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0))))
9081, 89mpbird 247 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)))
9190biantrud 527 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)))))
9261anim2i 592 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)))
93923adant1 1099 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)))
9493ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)))
95 numclwwlk.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
9695numclwwlkovh 27353 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
9794, 96syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
9897eleq2d 2716 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
99 fveq1 6228 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0))
10099eqeq1d 2653 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋))
101 fveq1 6228 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)))
102101, 99neeq12d 2884 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0)))
103100, 102anbi12d 747 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0))))
104103elrab 3396 . . . . . . 7 ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0))))
10598, 104syl6rbb 277 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ ((𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩)‘0))) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
10667, 91, 1053bitrd 294 . . . . 5 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) ∧ 𝑣𝑉) → (({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
107106reubidva 3155 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → (∃!𝑣𝑉 ({( lastS ‘𝑊), 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑣, (𝑊‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ ∃!𝑣𝑉 (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
10842, 107mpbid 222 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ∃!𝑣𝑉 (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)))
109108ex 449 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → ∃!𝑣𝑉 (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
11012, 109sylbid 230 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑊 ∈ (𝑋𝑄𝑁) → ∃!𝑣𝑉 (𝑊 ++ ⟨“𝑣”⟩) ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  ∃!wreu 2943  {crab 2945  Vcvv 3231  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984   WWalksN cwwlksn 26774   ClWWalksN cclwwlkn 26981  ClWWalksNOncclwwlknon 27060   FriendGraph cfrgr 27236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-clwwlk 26950  df-clwwlkn 26983  df-clwwlknon 27061  df-frgr 27237
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1o  27359
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