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Theorem numclwlk2lem2fOLD 27545
Description: Obsolete version of numclwlk2lem2f 27538 as of 1-May-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Oct-2018.) (Revised by AV, 31-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Mar-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlkOLD.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlkOLD.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlkOLD.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlkOLD.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
Assertion
Ref Expression
numclwlk2lem2fOLD ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑥,𝐺,𝑤   𝑥,𝐻   𝑥,𝑁   𝑥,𝑄   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑉(𝑤)

Proof of Theorem numclwlk2lem2fOLD
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
2 2nn 11377 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
41, 3nnaddcld 11259 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
54anim2i 594 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ))
653adant1 1125 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ))
7 numclwwlkOLD.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8 numclwwlkOLD.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
9 numclwwlkOLD.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
107, 8, 9numclwwlkovhOLD 27543 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ) → (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) = {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
1110eleq2d 2825 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉 ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
126, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
13 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘0) = (𝑥‘0))
1413eqeq1d 2762 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑥‘0) = 𝑋))
15 fveq1 6351 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
1615, 13neeq12d 2993 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))
1714, 16anbi12d 749 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
1817elrab 3504 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))))
1912, 18syl6bb 276 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))))
20 peano2nn 11224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21 nnz 11591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
22 2z 11601 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℤ
2322a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
2421, 23zaddcld 11678 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ ℤ)
25 uzid 11894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 + 2) ∈ ℤ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 2)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘(𝑁 + 2)))
27 nncn 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
28 1cnd 10248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
2927, 28, 28addassd 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
30 1p1e2 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 1) = 2)
3231oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
3329, 32eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
3433fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 2)))
3526, 34eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1)))
3620, 35jca 555 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
37363ad2ant3 1130 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))))
39 simprl 811 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → 𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
40 wwlksubclwwlk 27189 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 2) ∈ (ℤ‘((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
4138, 39, 40sylc 65 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
42 pncan1 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4342eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
4427, 43syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = ((𝑁 + 1) − 1))
4544oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 WWalksN 𝐺) = (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺))
4645eleq2d 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
47463ad2ant3 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
4847adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (((𝑁 + 1) − 1) WWalksN 𝐺)))
4941, 48mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
507clwwlknbp 27163 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)))
51 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
52 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → 𝑥 ∈ Word 𝑉)
53 nnnn0 11491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
54 peano2nn0 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
56 nnre 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5756lep1d 11147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
58 elfz2nn0 12624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
5953, 55, 57, 58syl3anbrc 1429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
60 2cnd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℂ)
61 addsubass 10483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + (2 − 1)))
62 2m1e1 11327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (2 − 1) = 1
6362oveq2i 6824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 + (2 − 1)) = (𝑁 + 1)
6461, 63syl6eq 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
6527, 60, 28, 64syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 1) = (𝑁 + 1))
6665oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (0...((𝑁 + 2) − 1)) = (0...(𝑁 + 1)))
6759, 66eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)))
68 elfzp1b 12610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 2) ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
6921, 24, 68syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (0...((𝑁 + 2) − 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7067, 69mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
7170adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2)))
72 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → (1...(♯‘𝑥)) = (1...(𝑁 + 2)))
7372eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7473ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (1...(𝑁 + 2))))
7571, 74mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥)))
76 swrd0fv0 13640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
7752, 75, 76syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
7877ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0)))
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0)))
8079impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
8180ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑥‘0))
82 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (𝑥‘0) = 𝑋)
8381, 82eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋)
84 swrd0fvlsw 13643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑥))) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
8552, 75, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)))
8627, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8727, 60pncand 10585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 2) − 2) = 𝑁)
8886, 87eqtr4d 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = ((𝑁 + 2) − 2))
8988fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)))
9185, 90eqtr2d 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
9291ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
9392adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))))
9493impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) = (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
9594neeq1d 2991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) ↔ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
9695biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
9796adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
9897impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0))
9998adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0))
100 neeq2 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑋 = (𝑥‘0) → ((lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
101100eqcoms 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥‘0) = 𝑋 → ((lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
102101adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ (𝑥‘0)))
10399, 102mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)
10483, 103jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ ((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
10551, 104mpancom 706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ)) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
106105exp31 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
107106com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑥) = (𝑁 + 2) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝑉) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
108107ancoms 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑥) = (𝑁 + 2)) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
10950, 108syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) → (((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
110109imp 444 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
111110com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
1121113adant1 1125 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
113112imp 444 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
11449, 113jca 555 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0)))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
115114ex 449 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑥‘0) = 𝑋 ∧ (𝑥‘((𝑁 + 2) − 2)) ≠ (𝑥‘0))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
11619, 115sylbid 230 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
117116imp 444 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
118 3simpc 1147 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ))
119118adantr 472 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ))
1207, 8numclwwlkovq 27535 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
121119, 120syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑋𝑄𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)})
122121eleq2d 2825 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)}))
123 fveq1 6351 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
124123eqeq1d 2762 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋))
125 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (lastS‘𝑤) = (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)))
126125neeq1d 2991 . . . . . 6 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((lastS‘𝑤) ≠ 𝑋 ↔ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))
127124, 126anbi12d 749 . . . . 5 (𝑤 = (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋) ↔ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
128127elrab 3504 . . . 4 ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑋)} ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋)))
129122, 128syl6bb 276 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁) ↔ ((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (((𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑋 ∧ (lastS‘(𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) ≠ 𝑋))))
130117, 129mpbird 247 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2))) → (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑋𝑄𝑁))
131 numclwwlkOLD.r . 2 𝑅 = (𝑥 ∈ (𝑋𝐻(𝑁 + 2)) ↦ (𝑥 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩))
132130, 131fmptd 6548 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → 𝑅:(𝑋𝐻(𝑁 + 2))⟶(𝑋𝑄𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {crab 3054  cop 4327   class class class wbr 4804  cmpt 4881  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  cuz 11879  ...cfz 12519  chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478   substr csubstr 13481  Vtxcvtx 26073   WWalksN cwwlksn 26929   ClWWalksN cclwwlkn 27147   FriendGraph cfrgr 27410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-substr 13489  df-wwlks 26933  df-wwlksn 26934  df-clwwlk 27105  df-clwwlkn 27149
This theorem is referenced by:  numclwlk2lem2f1oOLD  27547
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