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Theorem numclwlk1lem2fo 27348
Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Feb-2022.) (Revised by AV, 6-Mar-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2fo ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋   𝑢,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2fo
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑝 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3 extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4 numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4numclwlk1lem2f 27345 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6 elxp 5165 . . . . 5 (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
71, 2, 3numclwlk1lem2foa 27344 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
109imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12 fveq2 6229 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
1312eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
141, 2, 3, 4numclwlk1lem2fv 27346 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1615eqeq2d 2661 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
1713, 16sylan9bbr 737 . . . . . . . . 9 (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18 simprll 819 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
191nbgrisvtx 26280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏𝑉)
203eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝐹𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
21 uz3m2nn 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2221nnne0d 11103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
23223ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ≠ 0)
24 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
251, 24clwwlknonel 27070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 − 2) ≠ 0 → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2720, 26syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎𝐹 ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
28 df-3an 1056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
2927, 28syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎𝐹 ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
30 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
31 s1cl 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3332adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
35 s1cl 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
3635adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
37 ccatass 13406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3837oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
3930, 34, 36, 38syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
40 ccatcl 13392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
4133, 35, 40syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
42 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑎) = (𝑁 − 2))
4342eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4544adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
46 swrdccatid 13543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4730, 41, 45, 46syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4839, 47eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
49 1e2m1 11174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 1 = (2 − 1)
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 = (2 − 1))
5150oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
52 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
53 2cnd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
54 1cnd 10094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
5552, 53, 54subsubd 10458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
5651, 55eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
5756adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
5857adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
5958adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
6059fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
61 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)))
62 simprl 809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
6362anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑋𝑉𝑏𝑉))
64 ccatw2s1p2 13459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑏𝑉)) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
6561, 63, 64syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑏)
6660, 65eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6748, 66opeq12d 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
6867exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
69683ad2antl1 1243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7170com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
72713adant1 1099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7329, 72sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎𝐹 → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7473com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → (𝑎𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7519, 74syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎𝐹 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7675com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐹 → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
7776imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
7877adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
7978imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
8079adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
8118, 80eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
8211, 17, 81rspcedvd 3348 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
8310, 82mpancom 704 . . . . . . 7 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
8483ex 449 . . . . . 6 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
8584exlimivv 1900 . . . . 5 (∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎𝐹𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
866, 85sylbi 207 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
8786impcom 445 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
8887ralrimiva 2995 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
89 dffo3 6414 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
905, 88, 89sylanbrc 699 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  {cpr 4212  cop 4216  cmpt 4762   × cxp 5141  wf 5922  ontowfo 5924  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  cmin 10304  2c2 11108  3c3 11109  cuz 11725  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   lastS clsw 13324   ++ cconcat 13325  ⟨“cs1 13326   substr csubstr 13327  Vtxcvtx 25919  Edgcedg 25984  USGraphcusgr 26089   NeighbVtx cnbgr 26269  ClWWalksNOncclwwlknon 27060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-edg 25985  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-usgr 26091  df-nbgr 26270  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-clwwlk 26950  df-clwwlkn 26983  df-clwwlknon 27061
This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1o  27349
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