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Theorem numclwlk1lem2 27502
 Description: Lemma 2 for numclwlk1 27503 (Statement 9 in [Huneke] p. 2 for n>2). This theorem corresponds to numclwwlk1 27491, using the general definition of walks instead of walks as words. (Contributed by AV, 4-Jun-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwlk1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwlk1.c 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
numclwlk1.f 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋   𝑤,𝐶   𝑤,𝐹

Proof of Theorem numclwlk1lem2
Dummy variables 𝑛 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rusgrusgr 26641 . . . . . 6 (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ USGraph)
2 usgruspgr 26243 . . . . . 6 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USPGraph)
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ USPGraph)
43ad2antlr 765 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ USPGraph)
5 simpl 474 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
65adantl 473 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 11893 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
87ad2antll 767 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
9 numclwlk1.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
10 numclwlk1.c . . . . 5 𝐶 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}
11 eqid 2748 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}
129, 10, 11dlwwlknondlwlknonen 27498 . . . 4 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
134, 6, 8, 12syl3anc 1463 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
141anim2i 594 . . . . . . . . 9 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 ∈ USGraph))
1514ancomd 466 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
169isfusgr 26380 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
1715, 16sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
18 eluzge3nn 11894 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ)
1918nnnn0d 11514 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2019adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
21 wlksnfi 26996 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
2217, 20, 21syl2an 495 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁} ∈ Fin)
23 clwlkswks 26853 . . . . . . . 8 (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺)
2423a1i 11 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (ClWalks‘𝐺) ⊆ (Walks‘𝐺))
25 simp21 1225 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁)
2624, 25rabssrabd 3818 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = 𝑁})
2722, 26ssfid 8336 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = 𝑁 ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋 ∧ ((2nd𝑤)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ∈ Fin)
2810, 27syl5eqel 2831 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐶 ∈ Fin)
299clwwlknonfin 27212 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
3029ad2antrr 764 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ Fin)
31 ssrab2 3816 . . . . . 6 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)
3231a1i 11 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ⊆ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
3330, 32ssfid 8336 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin)
34 hashen 13300 . . . 4 ((𝐶 ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ Fin) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
3528, 33, 34syl2anc 696 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}) ↔ 𝐶 ≈ {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
3613, 35mpbird 247 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
37 eqidd 2749 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}))
38 oveq12 6810 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁))
39 oveq1 6808 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 − 2) = (𝑁 − 2))
4039fveq2d 6344 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑁 → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
4140adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘(𝑁 − 2)))
42 simpl 474 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → 𝑣 = 𝑋)
4341, 42eqeq12d 2763 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → ((𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣 ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
4438, 43rabeqbidv 3323 . . . . 5 ((𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
4544adantl 473 . . . 4 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ (𝑣 = 𝑋𝑛 = 𝑁)) → {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣} = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
46 ovex 6829 . . . . . 6 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∈ V
4746rabex 4952 . . . . 5 {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V
4847a1i 11 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋} ∈ V)
4937, 45, 6, 8, 48ovmpt2d 6941 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋})
5049fveq2d 6344 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (♯‘{𝑤 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∣ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋}))
51 eqid 2748 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
52 eqid 2748 . . . 4 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
539, 51, 52numclwwlk1 27491 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
54 numclwlk1.f . . . . . . 7 𝐹 = {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)}
555, 9syl6eleq 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
5655adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺))
57 uz3m2nn 11895 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
5857ad2antll 767 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
59 clwwlknonclwlknonen 27494 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USPGraph ∧ 𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
604, 56, 58, 59syl3anc 1463 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
6154, 60syl5eqbr 4827 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))
62 uznn0sub 11883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
637, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
6463adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
65 wlksnfi 26996 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
6617, 64, 65syl2an 495 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)} ∈ Fin)
67 simp2l 1218 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋) ∧ 𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺)) → (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2))
6824, 67rabssrabd 3818 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ⊆ {𝑤 ∈ (Walks‘𝐺) ∣ (♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2)})
6966, 68ssfid 8336 . . . . . . . 8 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → {𝑤 ∈ (ClWalks‘𝐺) ∣ ((♯‘(1st𝑤)) = (𝑁 − 2) ∧ ((2nd𝑤)‘0) = 𝑋)} ∈ Fin)
7054, 69syl5eqel 2831 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐹 ∈ Fin)
719clwwlknonfin 27212 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
7271ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
73 hashen 13300 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7470, 72, 73syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ↔ 𝐹 ≈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7561, 74mpbird 247 . . . . 5 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐹) = (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))
7675eqcomd 2754 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) = (♯‘𝐹))
7776oveq2d 6817 . . 3 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
7853, 77eqtrd 2782 . 2 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
7936, 50, 783eqtr2d 2788 1 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘𝐶) = (𝐾 · (♯‘𝐹)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1620   ∈ wcel 2127  {crab 3042  Vcvv 3328   ⊆ wss 3703   class class class wbr 4792  ‘cfv 6037  (class class class)co 6801   ↦ cmpt2 6803  1st c1st 7319  2nd c2nd 7320   ≈ cen 8106  Fincfn 8109  0cc0 10099   · cmul 10104   − cmin 10429  ℕcn 11183  2c2 11233  3c3 11234  ℕ0cn0 11455  ℤ≥cuz 11850  ♯chash 13282  Vtxcvtx 26044  USPGraphcuspgr 26213  USGraphcusgr 26214  FinUSGraphcfusgr 26378  RegUSGraphcrusgr 26633  Walkscwlks 26673  ClWalkscclwlks 26847  ClWWalksNOncclwwlknon 27203 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-rep 4911  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102  ax-cnex 10155  ax-resscn 10156  ax-1cn 10157  ax-icn 10158  ax-addcl 10159  ax-addrcl 10160  ax-mulcl 10161  ax-mulrcl 10162  ax-mulcom 10163  ax-addass 10164  ax-mulass 10165  ax-distr 10166  ax-i2m1 10167  ax-1ne0 10168  ax-1rid 10169  ax-rnegex 10170  ax-rrecex 10171  ax-cnre 10172  ax-pre-lttri 10173  ax-pre-lttrn 10174  ax-pre-ltadd 10175  ax-pre-mulgt0 10176 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1051  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-fal 1626  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-nel 3024  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-int 4616  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-riota 6762  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7899  df-map 8013  df-pm 8014  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8926  df-cda 9153  df-pnf 10239  df-mnf 10240  df-xr 10241  df-ltxr 10242  df-le 10243  df-sub 10431  df-neg 10432  df-nn 11184  df-2 11242  df-3 11243  df-n0 11456  df-xnn0 11527  df-z 11541  df-uz 11851  df-rp 11997  df-xadd 12111  df-fz 12491  df-fzo 12631  df-seq 12967  df-exp 13026  df-hash 13283  df-word 13456  df-lsw 13457  df-concat 13458  df-s1 13459  df-substr 13460  df-s2 13764  df-vtx 26046  df-iedg 26047  df-edg 26110  df-uhgr 26123  df-ushgr 26124  df-upgr 26147  df-umgr 26148  df-uspgr 26215  df-usgr 26216  df-fusgr 26379  df-nbgr 26395  df-vtxdg 26543  df-rgr 26634  df-rusgr 26635  df-wlks 26676  df-clwlks 26848  df-wwlks 26904  df-wwlksn 26905  df-clwwlk 27076  df-clwwlkn 27120  df-clwwlknon 27204 This theorem is referenced by:  numclwlk1  27503
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