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Theorem ntrneikb 38918
Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneikb (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑡,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑡,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb
StepHypRef Expression
1 con34b 305 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
21albii 1895 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
3 19.21v 2020 . . . . . 6 (∀𝑥(¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) ↔ (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
4 nne 2947 . . . . . . 7 (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠𝑡) = ∅)
5 elin 3947 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)))
65imbi1i 338 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
7 noel 4067 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑥 ∈ ∅
8 imnot 354 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ∅ → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)))
106, 9bitr2i 265 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
1110albii 1895 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
12 dfss2 3740 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
13 ss0b 4117 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅)
1411, 12, 133bitr2i 288 . . . . . . 7 (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅)
154, 14imbi12i 339 . . . . . 6 ((¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) ↔ ((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅))
162, 3, 153bitrri 287 . . . . 5 (((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
17 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
18 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
19 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
2017, 18, 19ntrneiiex 38900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
21 elmapi 8031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2322ffvelrnda 6502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
2423adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
2524elpwid 4309 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
2625sseld 3751 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝐵))
2726adantrd 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥𝐵))
2827imp 393 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) → 𝑥𝐵)
29 biimt 349 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3130pm5.74da 805 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
32 bi2.04 375 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3331, 32syl6bb 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
3433albidv 2001 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
35 df-ral 3066 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3634, 35syl6bbr 278 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3719ad3antrrr 709 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
38 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
39 simpllr 760 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
4017, 18, 37, 38, 39ntrneiel 38905 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
41 simplr 752 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
4217, 18, 37, 38, 41ntrneiel 38905 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑡) ↔ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
4340, 42anbi12d 616 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥))))
4443imbi1d 330 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4544ralbidva 3134 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4636, 45bitrd 268 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4716, 46syl5bb 272 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4847ralbidva 3134 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4948ralbidva 3134 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
50 alrot3 2194 . . . 4 (∀𝑥𝑠𝑡((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑠𝑡𝑥((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
51 3anrot 1086 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵))
5251imbi1i 338 . . . . . 6 (((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
5352albii 1895 . . . . 5 (∀𝑥((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
54532albii 1896 . . . 4 (∀𝑠𝑡𝑥((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑠𝑡𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
5550, 54bitr2i 265 . . 3 (∀𝑠𝑡𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥𝑠𝑡((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
56 r3al 3089 . . 3 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑠𝑡𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
57 r3al 3089 . . 3 (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑠𝑡((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
5855, 56, 573bitr4i 292 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
5949, 58syl6bb 276 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071  wal 1629   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  {crab 3065  Vcvv 3351  cin 3722  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cmpt2 6795  𝑚 cmap 8009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-map 8011
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