MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrivcvgmullem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrivcvgmullem 14677
Description: Lemma for ntrivcvgmul 14678. (Contributed by Scott Fenton, 19-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvgmullem.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvgmullem.2 (𝜑𝑁𝑍)
ntrivcvgmullem.3 (𝜑𝑃𝑍)
ntrivcvgmullem.4 (𝜑𝑋 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.5 (𝜑𝑌 ≠ 0)
ntrivcvgmullem.6 (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
ntrivcvgmullem.7 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
ntrivcvgmullem.8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.9 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
ntrivcvgmullem.a (𝜑𝑁𝑃)
ntrivcvgmullem.b ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
ntrivcvgmullem (𝜑 → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐹   𝐻,𝑞,𝑤   𝑃,𝑞,𝑤   𝑤,𝑌   𝑍,𝑞   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝜑,𝑘   𝑃,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑞)   𝐹(𝑞)   𝐺(𝑤,𝑞)   𝑀(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑁(𝑤,𝑞)   𝑋(𝑤,𝑘,𝑞)   𝑌(𝑘,𝑞)   𝑍(𝑤)

Proof of Theorem ntrivcvgmullem
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ntrivcvgmullem.3 . 2 (𝜑𝑃𝑍)
2 eqid 2651 . . . . . . 7 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
3 ntrivcvgmullem.a . . . . . . . 8 (𝜑𝑁𝑃)
4 ntrivcvgmullem.1 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 uzssz 11745 . . . . . . . . . . 11 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5eqsstri 3668 . . . . . . . . . 10 𝑍 ⊆ ℤ
7 ntrivcvgmullem.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑍)
86, 7sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
96, 1sseldi 3634 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
10 eluz 11739 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑃))
118, 9, 10syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 ∈ (ℤ𝑁) ↔ 𝑁𝑃))
123, 11mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ𝑁))
13 ntrivcvgmullem.6 . . . . . . 7 (𝜑 → seq𝑁( · , 𝐹) ⇝ 𝑋)
14 ntrivcvgmullem.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ≠ 0)
154uztrn2 11743 . . . . . . . . 9 ((𝑁𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
167, 15sylan 487 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑘𝑍)
17 ntrivcvgmullem.8 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1816, 17syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
192, 12, 13, 14, 18ntrivcvgtail 14676 . . . . . 6 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹))))
2019simprd 478 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)))
21 climcl 14274 . . . . 5 (seq𝑃( · , 𝐹) ⇝ ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
2220, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ∈ ℂ)
23 ntrivcvgmullem.7 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌)
24 climcl 14274 . . . . 5 (seq𝑃( · , 𝐺) ⇝ 𝑌𝑌 ∈ ℂ)
2523, 24syl 17 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
2619simpld 474 . . . 4 (𝜑 → ( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) ≠ 0)
27 ntrivcvgmullem.5 . . . 4 (𝜑𝑌 ≠ 0)
2822, 25, 26, 27mulne0d 10717 . . 3 (𝜑 → (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0)
29 eqid 2651 . . . 4 (ℤ𝑃) = (ℤ𝑃)
30 seqex 12843 . . . . 5 seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V
3130a1i 11 . . . 4 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ∈ V)
324uztrn2 11743 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑘𝑍)
331, 32sylan 487 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑘𝑍)
3433, 17syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3529, 9, 34prodf 14663 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐹):(ℤ𝑃)⟶ℂ)
3635ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
37 ntrivcvgmullem.9 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3833, 37syldan 486 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑃)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
3929, 9, 38prodf 14663 . . . . 5 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐺):(ℤ𝑃)⟶ℂ)
4039ffvelrnda 6399 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗) ∈ ℂ)
41 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑃))
42 simpll 805 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝜑)
431adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → 𝑃𝑍)
44 elfzuz 12376 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑃...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑃))
4543, 44, 32syl2an 493 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → 𝑘𝑍)
4642, 45, 17syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
4742, 45, 37syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐺𝑘) ∈ ℂ)
48 ntrivcvgmullem.b . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
4942, 45, 48syl2anc 694 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑃...𝑗)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) · (𝐺𝑘)))
5041, 46, 47, 49prodfmul 14666 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑃)) → (seq𝑃( · , 𝐻)‘𝑗) = ((seq𝑃( · , 𝐹)‘𝑗) · (seq𝑃( · , 𝐺)‘𝑗)))
5129, 9, 20, 31, 23, 36, 40, 50climmul 14407 . . 3 (𝜑 → seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))
52 ovex 6718 . . . 4 (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ∈ V
53 neeq1 2885 . . . . 5 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (𝑤 ≠ 0 ↔ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0))
54 breq2 4689 . . . . 5 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → (seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)))
5553, 54anbi12d 747 . . . 4 (𝑤 = (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌))))
5652, 55spcev 3331 . . 3 (((( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌) ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ (( ⇝ ‘seq𝑃( · , 𝐹)) · 𝑌)) → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
5728, 51, 56syl2anc 694 . 2 (𝜑 → ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
58 seqeq1 12844 . . . . . 6 (𝑞 = 𝑃 → seq𝑞( · , 𝐻) = seq𝑃( · , 𝐻))
5958breq1d 4695 . . . . 5 (𝑞 = 𝑃 → (seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤 ↔ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
6059anbi2d 740 . . . 4 (𝑞 = 𝑃 → ((𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ (𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
6160exbidv 1890 . . 3 (𝑞 = 𝑃 → (∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤) ↔ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)))
6261rspcev 3340 . 2 ((𝑃𝑍 ∧ ∃𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑃( · , 𝐻) ⇝ 𝑤)) → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
631, 57, 62syl2anc 694 1 (𝜑 → ∃𝑞𝑍𝑤(𝑤 ≠ 0 ∧ seq𝑞( · , 𝐻) ⇝ 𝑤))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  Vcvv 3231   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974   · cmul 9979  cle 10113  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  cli 14259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263
This theorem is referenced by:  ntrivcvgmul  14678
  Copyright terms: Public domain W3C validator