Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrf2 38924
Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrrn.x 𝑋 = 𝐽
ntrrn.i 𝐼 = (int‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
ntrf2 (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)

Proof of Theorem ntrf2
StepHypRef Expression
1 ntrrn.x . . 3 𝑋 = 𝐽
2 ntrrn.i . . 3 𝐼 = (int‘𝐽)
31, 2ntrf 38923 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋𝐽)
41toptopon 20924 . . . 4 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5 topgele 20936 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
64, 5sylbi 207 . . 3 (𝐽 ∈ Top → ({∅, 𝑋} ⊆ 𝐽𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋))
76simprd 482 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ 𝒫 𝑋)
83, 7fssd 6218 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wss 3715  c0 4058  𝒫 cpw 4302  {cpr 4323   cuni 4588  wf 6045  cfv 6049  Topctop 20900  TopOnctopon 20917  intcnt 21023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-top 20901  df-topon 20918  df-ntr 21026
This theorem is referenced by:  ntrelmap  38925
  Copyright terms: Public domain W3C validator